三角関数 公式

三角関数の公式は、ばらばらに暗記するより「どの場面で何を変形したいか」で見ると整理しやすくなります。まず押さえたいのは、$\\sin$、$\\cos$、$\\tan$ の基本比、そこから出る恒等式、そして角を分けて計算する加法定理です。

よくある使い道は3つです。式を簡単にする、特別な角の値を正確に出す、三角方程式を解きやすい形に変える。この3つが見えていると、公式表も使いやすくなります。

まず覚える三角関数の基本公式

直角三角形で、角を $\\theta$、向かい側を $a$、となりを $b$、斜辺を $c$ とすると、

$$\\sin \\theta = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{b}{c}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{a}{b}$$

また、$\\cos \\theta \\ne 0$ なら

$$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$$

が成り立ちます。ここは後の変形で何度も使います。

相互関係と三平方の恒等式

逆数の関係は次の通りです。

$$\\csc \\theta = \\frac{1}{\\sin \\theta}, \\quad \\sec \\theta = \\frac{1}{\\cos \\theta}, \\quad \\cot \\theta = \\frac{1}{\\tan \\theta} = \\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

さらに、最重要の恒等式は

$$\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$$

です。ここから、分母が $0$ でない範囲で

$$1 + \\tan^2 \\theta = \\sec^2 \\theta$$ $$1 + \\cot^2 \\theta = \\csc^2 \\theta$$

も導けます。$\\tan$ や $\\cot$ の式は、割ってよい条件があるときだけ使えます。

加法定理は exact 値の計算で強い

和や差に分けられる角では、加法定理がそのまま使えます。

$$\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta - \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta - \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta + \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\tan(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha + \\tan \\beta}{1 - \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$ $$\\tan(\\alpha - \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha - \\tan \\beta}{1 + \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$

$\\tan$ の公式では、分母が $0$ にならないことの確認が必要です。

2倍角と半角の公式

同じ角が2つ出るときは、2倍角の公式が役立ちます。

$$\\sin(2\\theta) = 2 \\sin \\theta \\cos \\theta$$ $$\\cos(2\\theta) = \\cos^2 \\theta - \\sin^2 \\theta$$ $$\\cos(2\\theta) = 2\\cos^2 \\theta - 1 = 1 - 2\\sin^2 \\theta$$ $$\\tan(2\\theta) = \\frac{2\\tan \\theta}{1 - \\tan^2 \\theta}$$

半角では

$$\\sin\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 - \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\cos\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 + \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\tan\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\frac{\\sin \\theta}{1 + \\cos \\theta} = \\frac{1 - \\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

を使います。平方根が付く半角公式の符号は、$\\theta/2$ がどの象限にあるかで決まります。

計算例: \\sin 75^\\circ を求める

75^\\circ は 45^\\circ + 30^\\circ と分けられるので、加法定理を使います。

\\sin 75^\\circ = \\sin(45^\\circ + 30^\\circ) = \\sin 45^\\circ \\cos 30^\\circ + \\cos 45^\\circ \\sin 30^\\circ

既知角の値を入れると、

$$= \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) + \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{1}{2}\\right)$$ $$= \\frac{\\sqrt{6}}{4} + \\frac{\\sqrt{2}}{4} = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}$$

となります。三角関数の公式が生きるのは、こうして難しい角を知っている角に分けられるときです。

間違えやすいポイント

1. 恒等式と方程式を混同すること。$\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$ は恒等式ですが、$\\sin \\theta = \\frac{1}{2}$ は特定の角でしか成り立ちません。
2. $\\tan \\theta$ や $\\sec \\theta$ の定義域を見落とすこと。$\\cos \\theta = 0$ のときは使えません。
3. 加法定理の符号を取り違えること。特に $\\cos(\\alpha \\pm \\beta)$ は混乱しやすいです。
4. 半角公式の $\\pm$ を勝手に決めること。符号は $\\theta/2$ の象限で決まります。
5. 直角三角形の比だけで全部説明しようとすること。鈍角や負の角を扱うなら、単位円の見方が必要です。

どんなときに使うか

三角関数の公式は、式の簡単化、三角方程式、積分や微分の途中計算、波や回転の問題でよく使われます。高校数学では「値を求める」「式を変形する」「別の形に直す」の3場面で出会うことが多いです。

公式を選ぶときは、角を足し引きできるか、$\\sin^2$ と $\\cos^2$ が見えているか、同じ角が2つあるかを先に見ると判断しやすくなります。

次に自分で試す

\\cos 15^\\circ を 45^\\circ - 30^\\circ と見て計算してみてください。途中で符号を丁寧に追えれば、加法定理の使い方がかなり安定します。