三角関数 公式

三角関数の公式は、ばらばらに暗記するより「どの場面で何を変形したいか」で見ると整理しやすくなります。まず押さえたいのは、$\sin$、$\cos$、$\tan$ の基本比、そこから出る恒等式、そして角を分けて計算する加法定理です。

よくある使い道は3つです。式を簡単にする、特別な角の値を正確に出す、三角方程式を解きやすい形に変える。この3つが見えていると、公式表も使いやすくなります。

まず覚える三角関数の基本公式

直角三角形で、角を $\theta$、向かい側を $a$、となりを $b$、斜辺を $c$ とすると、

$$\sin \theta = \frac{a}{c}, \quad \cos \theta = \frac{b}{c}, \quad \tan \theta = \frac{a}{b}$$

また、$\cos \theta \ne 0$ なら

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

が成り立ちます。ここは後の変形で何度も使います。

相互関係と三平方の恒等式

逆数の関係は次の通りです。

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

さらに、最重要の恒等式は

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

です。ここから、分母が $0$ でない範囲で

$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

も導けます。$\tan$ や $\cot$ の式は、割ってよい条件があるときだけ使えます。

加法定理は exact 値の計算で強い

和や差に分けられる角では、加法定理がそのまま使えます。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

$\tan$ の公式では、分母が $0$ にならないことの確認が必要です。

2倍角と半角の公式

同じ角が2つ出るときは、2倍角の公式が役立ちます。

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

半角では

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

を使います。平方根が付く半角公式の符号は、$\theta/2$ がどの象限にあるかで決まります。

計算例: $\sin 75^\circ$ を求める

$75^\circ$ は $45^\circ + 30^\circ$ と分けられるので、加法定理を使います。

$$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

既知角の値を入れると、

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

となります。三角関数の公式が生きるのは、こうして難しい角を知っている角に分けられるときです。

間違えやすいポイント

1. 恒等式と方程式を混同すること。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ は恒等式ですが、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ は特定の角でしか成り立ちません。
2. $\tan \theta$ や $\sec \theta$ の定義域を見落とすこと。$\cos \theta = 0$ のときは使えません。
3. 加法定理の符号を取り違えること。特に $\cos(\alpha \pm \beta)$ は混乱しやすいです。
4. 半角公式の $\pm$ を勝手に決めること。符号は $\theta/2$ の象限で決まります。
5. 直角三角形の比だけで全部説明しようとすること。鈍角や負の角を扱うなら、単位円の見方が必要です。

どんなときに使うか

三角関数の公式は、式の簡単化、三角方程式、積分や微分の途中計算、波や回転の問題でよく使われます。高校数学では「値を求める」「式を変形する」「別の形に直す」の3場面で出会うことが多いです。

公式を選ぶときは、角を足し引きできるか、$\sin^2$ と $\cos^2$ が見えているか、同じ角が2つあるかを先に見ると判断しやすくなります。

次に自分で試す

$\cos 15^\circ$ を $45^\circ - 30^\circ$ と見て計算してみてください。途中で符号を丁寧に追えれば、加法定理の使い方がかなり安定します。