三角函数公式大全

三角函数公式，最常考的其实只有 5 组：基本比、基本恒等式、和角差角公式、倍角公式、半角公式。想把这部分学会，不是把式子全背下来，而是先分清每组公式解决什么问题，以及它成立时需要哪些条件。

如果你现在只想先抓住最有用的部分，可以先记这三条：

$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad (\cos \theta \ne 0)$$

这三条已经能解决很多基础题。后面的常用公式，大多是在这些关系上继续变形。

三角函数公式表：先记这 5 组

类型	核心公式	什么时候最常用
基本比	$\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta$ 的边长比	直角三角形求边或求角
基本恒等式	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$	化简、代换、证明
和角差角公式	$\sin(\alpha \pm \beta)$、$\cos(\alpha \pm \beta)$、$\tan(\alpha \pm \beta)$	把陌生角拆成熟悉角
倍角公式	$\sin 2\theta$、$\cos 2\theta$、$\tan 2\theta$	题目出现 $2\theta$
半角公式	$\sin(\theta/2)$、$\cos(\theta/2)$、$\tan(\theta/2)$	题目出现 $\theta/2$ 或需要开平方

如果题目是任意角，而不是直角三角形里的锐角，最好切换到单位圆理解。此时 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 不再只是边长比，而是与点的坐标有关。

基本三角函数公式是什么意思

在直角三角形里，角为 $\theta$ 时：

$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

这三条是最基础的三角函数公式。它们告诉你，$\sin$、$\cos$、$\tan$ 本质上是在描述边长比例。

常见的倒数关系还有：

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

这些关系都带条件。比如 $\sec \theta = 1/\cos \theta$ 只有在 $\cos \theta \ne 0$ 时才有意义，不能把它当成无条件恒成立的变形。

三角恒等式要连条件一起记

最重要的三角恒等式是：

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

由它可以推出另外两条常见恒等式：

$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad (\cos \theta \ne 0)$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad (\sin \theta \ne 0)$$

这两条并不是脱离条件独立出现的。它们本质上是把 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 分别除以 $\cos^2 \theta$ 或 $\sin^2 \theta$ 得到的，所以分母不能为 $0$。

和角差角公式怎么用来求特殊角

当一个角能拆成两个熟悉角时，和角差角公式最有价值。比如 $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$，$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

$\tan$ 的两个公式还要多检查一步：分母不能为 $0$，而且相关的 $\tan \alpha$、$\tan \beta$ 本身也要有定义。

倍角公式和半角公式什么时候出现

如果题目里直接出现 $2\theta$，通常先想倍角公式：

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

如果题目里出现 $\theta/2$，再考虑半角公式：

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

半角公式最容易出错的地方不是代入，而是符号。$\pm$ 不是随便选的，而要看 $\theta/2$ 所在象限。

例题：用和角公式求 $\sin 75^\circ$

这是最典型的一类题。因为 $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$，所以先把陌生角拆开：

$$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$

代入和角公式：

$$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

再代入特殊角的值：

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

这道题想说明的不是结果本身，而是思路：先拆角，再选公式，最后代入熟悉角的值。很多三角函数求值题，核心就是这三步。

三角函数公式常见错误

1. 把恒等式和方程混在一起。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 对所有有定义的角都成立，但 $\sin \theta = 1/2$ 只对特定角成立。
2. 忘记检查定义域。比如 $\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta$ 只有在 $\cos \theta \ne 0$ 时能用。
3. 把和角差角公式的符号写反，尤其是 $\cos(\alpha \pm \beta)$。
4. 半角公式直接取正值，不看 $\theta/2$ 所在象限。
5. 只会用直角三角形的边长比解释三角函数，却拿它去理解钝角、负角或任意角。

三角函数公式通常用在哪些题里

三角函数公式最常出现在四类题里：求特殊角的精确值、化简三角式、解三角方程，以及把表达式变形成更容易计算的形式。高中和大学前期的微积分、物理波动问题里，也会不断用到这些关系。

做题时可以先问自己三个问题：这个角能不能拆开？式子里有没有 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ 这样的结构？题目里有没有 $2\theta$ 或 $\theta/2$？这三个判断，通常就能帮你很快选对公式。

试着自己做一个类似题

试着求 $\cos 15^\circ$，把 $15^\circ$ 写成 $45^\circ - 30^\circ$，再完整走一遍和角差角公式。如果你能把符号、特殊角数值和最后化简都处理对，说明这组公式已经不是死记，而是真的会用了。