การแจกแจงทวินาม — สูตร เงื่อนไข และตัวอย่าง

การแจกแจงทวินามบอกความน่าจะเป็นที่จะได้ความสำเร็จจำนวน $k$ ครั้งพอดี จากการทดลองทั้งหมด $n$ ครั้ง ใช้ได้ก็ต่อเมื่อแต่ละการทดลองมี 2 ผลลัพธ์สำหรับเหตุการณ์ที่เราสนใจ การทดลองเป็นอิสระต่อกัน และความน่าจะเป็นของความสำเร็จเท่ากันทุกครั้ง

ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง การคำนวณอาจดูเหมือนถูกต้อง แต่แบบจำลองอาจผิดตั้งแต่ต้น

การแจกแจงทวินามหมายถึงอะไร

สมมติว่าคุณทำการทดลองแบบเดียวกันซ้ำ $n$ ครั้ง ในแต่ละครั้ง คุณกำหนดผลลัพธ์หนึ่งให้เป็น ความสำเร็จ และอีกผลลัพธ์หนึ่งเป็น ความล้มเหลว

ถ้าความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้งเท่ากับ $p$ แล้วตัวแปรสุ่ม $X$ ซึ่งแทนจำนวนครั้งของความสำเร็จ อาจมีการแจกแจงทวินาม

มักเขียนได้เป็น

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

สัญลักษณ์นี้หมายความว่า:

• $n$ คือจำนวนการทดลอง
• $p$ คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง
• $X$ นับว่ามีความสำเร็จเกิดขึ้นกี่ครั้ง

นี่คือแบบจำลองการนับจำนวน ไม่ได้ถามว่าความสำเร็จเกิดในครั้งที่เท่าไร แต่ถามว่ารวมทั้งหมดเกิดความสำเร็จกี่ครั้ง

สูตรการแจกแจงทวินาม

สำหรับความสำเร็จจำนวน $k$ ครั้งพอดี ความน่าจะเป็นคือ

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

แต่ละส่วนมีหน้าที่ดังนี้:

• $\binom{n}{k}$ นับจำนวนวิธีที่สามารถจัดความสำเร็จ $k$ ครั้งให้อยู่ใน $n$ การทดลอง
• $p^k$ ให้ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ $k$ ครั้งนั้น
• $(1-p)^{n-k}$ ให้ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวที่เหลือ

สูตรนี้ใช้ได้สำหรับ $k=0,1,2,\dots,n$

ใช้สูตรทวินามได้เมื่อไร

ใช้แบบจำลองทวินามได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขทั้งหมดต่อไปนี้เป็นจริง:

จำนวนการทดลองคงที่

คุณรู้ล่วงหน้าว่ามีการทดลองทั้งหมดกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญ $8$ ครั้งตรงตามเงื่อนไขนี้

แต่ละการทดลองมี 2 ผลลัพธ์

สำหรับเหตุการณ์ที่คุณกำลังติดตาม แต่ละการทดลองต้องจัดได้ว่าเป็นความสำเร็จหรือความล้มเหลว การทอยลูกเต๋าก็ยังเข้าเงื่อนไขได้ ถ้าคุณกำหนดให้ความสำเร็จคือ “ทอยได้ $6$”

การทดลองเป็นอิสระต่อกัน

ผลของการทดลองครั้งหนึ่งไม่ควรเปลี่ยนความน่าจะเป็นของครั้งถัดไป การสุ่มแบบใส่คืนอาจตรงตามเงื่อนไขนี้ แต่การสุ่มแบบไม่ใส่คืนจากกลุ่มขนาดเล็กมักไม่ตรง

ความน่าจะเป็นของความสำเร็จคงที่

ค่า $p$ ต้องเท่ากันทุกการทดลอง ถ้าโอกาสเปลี่ยนไปในแต่ละครั้ง แบบจำลองทวินามอย่างง่ายจะไม่เหมาะสม

ตัวอย่างทำโจทย์: ออกหัว 3 ครั้งพอดีจากการโยน 5 ครั้ง

สมมติว่าเหรียญไม่เที่ยงตรงมีโอกาสออกหัวเท่ากับ $0.6$ คุณโยนเหรียญ $5$ ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะออกหัว $3$ ครั้งพอดีเป็นเท่าไร

ให้การออกหัวเป็นเหตุการณ์ความสำเร็จ จะได้ว่า

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

ใช้สูตร:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

คำนวณแต่ละส่วน:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

ดังนั้น

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

ความน่าจะเป็นที่จะออกหัว $3$ ครั้งพอดีคือ $0.3456$ หรือ $34.56\%$

ทำไมแบบจำลองทวินามจึงใช้ได้ในที่นี้? เพราะการทดลองมี $n$ คงที่ แต่ละการโยนมี 2 ผลลัพธ์ การทดลองเป็นอิสระต่อกัน และมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ $p=0.6$ ในทุกครั้ง

ทางลัดเร็วสำหรับคำว่า "อย่างน้อยหนึ่งครั้ง"

สำหรับคำถามแบบ “มีความสำเร็จอย่างน้อยหนึ่งครั้ง” การใช้เหตุการณ์เติมเต็มมักเร็วกว่า เพราะไม่ต้องบวกหลายพจน์

ตัวอย่างเช่น ถ้า $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$ จะได้ว่า

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

วิธีนี้ใช้ได้เพราะ “อย่างน้อยหนึ่งครั้ง” เป็นเหตุการณ์เติมเต็มของ “ไม่เกิดความสำเร็จเลย”

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์การแจกแจงทวินาม

มองข้ามเงื่อนไข

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือใช้สูตรทวินามทั้งที่การทดลองไม่เป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างคลาสสิกคือการหยิบสิ่งของจากชุดเล็ก ๆ แบบไม่ใส่คืน แต่ยังสมมติว่า $p$ ไม่เปลี่ยนเลย

เข้าใจคำว่า "ความสำเร็จ" ผิด

ในโจทย์ทวินาม คำว่า success ไม่จำเป็นต้องหมายถึงสิ่งที่ดีเสมอไป มันหมายถึงผลลัพธ์ที่คุณเลือกจะนับเท่านั้น

สับสนระหว่าง "พอดี" "อย่างน้อย" และ "อย่างมาก"

คำเหล่านี้นำไปสู่การคำนวณที่ต่างกัน แม้จะเป็นการทดลองเดียวกันก็ตาม “พอดี $3$” หมายถึงหนึ่งพจน์ “อย่างน้อย $3$” หมายถึงหลายพจน์ และ “อย่างมาก $3$” ก็เป็นผลรวมอีกแบบหนึ่ง

การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร

การแจกแจงทวินามปรากฏเมื่อคุณนับผลลัพธ์แบบใช่หรือไม่ใช่ที่เกิดซ้ำ ๆ เช่น ของเสียเทียบกับไม่เสีย ผ่านเทียบกับไม่ผ่าน คลิกเทียบกับไม่คลิก หรือออกหัวเทียบกับออกก้อย

มันมีประโยชน์ในงานควบคุมคุณภาพ การสุ่มตัวอย่างแบบสำรวจภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม คำถามด้านความเชื่อถือได้ และแบบจำลองความน่าจะเป็นพื้นฐานในสถิติ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์ของคุณเองโดยโยนเหรียญ $8$ ครั้งที่มี $p=0.4$ ก่อนอื่นหา $P(X=2)$ แล้วหา $P(X \ge 1)$ โดยใช้เหตุการณ์เติมเต็ม ถ้าอยากลองอีกกรณี ให้เปรียบเทียบว่ามีอะไรเปลี่ยนไปเมื่อการทดลองไม่เป็นอิสระต่อกัน