มัธยฐาน — วิธีหาค่ากลางของข้อมูล

มัธยฐานคือค่าที่อยู่ตรงกลางของรายการตัวเลขที่เรียงลำดับแล้ว วิธีหาเริ่มจากเรียงตัวเลขจากน้อยไปมากก่อน แล้วจึงหาค่าตรงกลาง: ถ้ามีจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ จะมีค่ากลางเพียงค่าเดียว แต่ถ้ามีจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ให้หาค่าเฉลี่ยของสองค่าที่อยู่ตรงกลาง

ไม่มีสูตรมัธยฐานแยกต่างหากที่ต้องท่องจำสำหรับทุกกรณี วิธีหาขึ้นอยู่กับว่าจำนวนข้อมูลเป็นคี่หรือคู่

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

โดยที่ $a$ และ $b$ คือสองค่าตรงกลางในรายการที่เรียงลำดับแล้ว

วิธีหามัธยฐานใน 3 ขั้นตอน

1. เรียงตัวเลขจากน้อยไปมาก
2. นับว่ามีข้อมูลทั้งหมดกี่ค่าในรายการ
3. ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นคี่ ให้เลือกค่าตรงกลาง แต่ถ้าเป็นคู่ ให้หาค่าเฉลี่ยของสองค่าตรงกลาง

การเรียงลำดับเป็นขั้นตอนที่นักเรียนมักพลาดมากที่สุด ถ้ายังไม่เรียงลำดับ คำว่า "ตรงกลาง" จะไม่มีความหมายที่ชัดเจน

ตัวอย่างมัธยฐานเมื่อมีจำนวนข้อมูลเป็นคู่

จงหามัธยฐานของ $2, 4, 5, 7, 50, 100$

ตัวเลขถูกเรียงไว้แล้ว มีข้อมูลทั้งหมด $6$ ค่า ดังนั้นจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ นั่นหมายความว่ามัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของสองค่าตรงกลาง

สองค่าตรงกลางคือ $5$ และ $7$ ดังนั้น

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

ดังนั้นมัธยฐานคือ $6$ แม้ว่า $50$ และ $100$ จะมีค่ามากกว่าตัวอื่นมาก แต่ก็ไม่ได้เปลี่ยนว่าคู่ใดเป็นค่าที่อยู่ตรงกลาง

ทำไมมัธยฐานจึงสำคัญ

มัธยฐานบอกว่าค่าใดอยู่ตรงกลางของชุดข้อมูล ในรายการที่เรียงลำดับแล้ว จะมีข้อมูลประมาณครึ่งหนึ่งอยู่ด้านหนึ่ง และอีกประมาณครึ่งหนึ่งอยู่อีกด้านหนึ่ง

จึงทำให้มัธยฐานมีประโยชน์เมื่อมีข้อมูลหนึ่งหรือสองค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติ ค่าสุดโต่งเหล่านี้อาจดึงค่าเฉลี่ยให้เปลี่ยนไปมาก แต่มักส่งผลต่อมัธยฐานน้อยกว่า

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ผู้คนมักรายงานรายได้มัธยฐาน ราคาบ้านมัธยฐาน หรือเวลาตอบสนองมัธยฐาน แทนที่จะดูเฉพาะค่าเฉลี่ยเพียงอย่างเดียว

รายการจำนวนคี่กับรายการจำนวนคู่

ถ้ารายการมีจำนวนข้อมูลเป็นคี่ จะมีค่าตรงกลางที่แน่นอนเพียงค่าเดียว แต่ถ้ารายการมีจำนวนข้อมูลเป็นคู่ จะไม่มีค่ากลางเพียงค่าเดียว ดังนั้นสำหรับข้อมูลเชิงตัวเลขจึงต้องหาค่าเฉลี่ยของสองค่าตรงกลาง

ระวังกฎการหาค่าเฉลี่ยนี้ไว้ด้วย: ใช้กับข้อมูลที่เป็นตัวเลขเท่านั้น ถ้าข้อมูลเป็นเพียงหมวดหมู่ที่เรียงลำดับได้ คุณยังพูดถึงตำแหน่งตรงกลางได้ แต่การนำสองค่าตรงกลางมาเฉลี่ยกันจะไม่มีความหมาย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหามัธยฐาน

• ไม่เรียงลำดับก่อน ใน $9, 2, 7, 4, 5$ มัธยฐานไม่ใช่ตัวที่สามตามที่เขียนไว้ เมื่อนำมาเรียงเป็น $2, 4, 5, 7, 9$ แล้ว มัธยฐานคือ $5$
• สับสนระหว่างมัธยฐานกับค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยใช้ทุกค่าในการคำนวณ แต่มัธยฐานใช้เพียงตำแหน่งตรงกลางในรายการที่เรียงแล้ว
• เลือกเพียงค่าตรงกลางค่าเดียวในรายการเชิงตัวเลขที่มีจำนวนข้อมูลเป็นคู่ คุณต้องใช้ทั้งสองค่าตรงกลางและหาค่าเฉลี่ยของมัน
• คิดว่ามัธยฐานต้องเป็นค่าที่อยู่ในรายการเดิมเสมอ ใน $3, 5, 8, 9$ มัธยฐานคือ $\frac{5+8}{2} = 6.5$ ซึ่งไม่ใช่ค่าหนึ่งในรายการ

เมื่อใดควรใช้มัธยฐาน

ใช้มัธยฐานเมื่อคุณต้องการค่ากลางที่เป็นตัวแทนของข้อมูล และข้อมูลอาจมีค่าผิดปกติหรือมีการกระจายแบบเบ้ มัธยฐานพบได้บ่อยในสถิติ เศรษฐศาสตร์ และการสรุปข้อมูลในชีวิตประจำวัน ซึ่งค่าที่สูงมากหรือต่ำมากเพียงไม่กี่ค่าอาจทำให้ค่าเฉลี่ยบิดเบือนได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

จงหามัธยฐานของ $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$ แล้วหามัธยฐานของ $1, 3, 4, 6, 9, 20$ สิ่งเดียวที่เปลี่ยนไปคือจำนวนข้อมูล ดังนั้นให้โฟกัสว่าขั้นตอนตรงกลางเปลี่ยนอย่างไร ถ้าอยากลองต่อ ให้เปรียบเทียบมัธยฐานแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ย แล้วดูว่าค่าวัดใดเปลี่ยนมากกว่า