Mediana — jak znaleźć wartość środkową

Mediana to wartość środkowa w uporządkowanej liście liczb. Aby ją znaleźć, najpierw ustaw liczby w kolejności, a potem wskaż środek: jedną środkową liczbę, jeśli lista ma nieparzystą liczbę wartości, albo średnią z dwóch środkowych liczb, jeśli lista ma parzystą liczbę wartości.

Nie ma jednego osobnego wzoru na medianę, który trzeba zapamiętać dla każdego przypadku. Sposób zależy od tego, czy liczba wartości jest parzysta, czy nieparzysta.

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

Tutaj $a$ i $b$ to dwie środkowe wartości w uporządkowanej liście.

Jak znaleźć medianę w 3 krokach

1. Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej.
2. Policz, ile wartości jest na liście.
3. Weź wartość środkową, jeśli liczba elementów jest nieparzysta, albo oblicz średnią z dwóch środkowych wartości, jeśli liczba elementów jest parzysta.

Porządkowanie to krok, który uczniowie najczęściej pomijają. Bez uporządkowania słowo „środek” nie ma dokładnego znaczenia.

Przykład mediany dla parzystej liczby wartości

Znajdź medianę liczb $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

Liczby są już uporządkowane. Jest $6$ wartości, więc liczba elementów jest parzysta. To znaczy, że mediana to średnia z dwóch środkowych wartości.

Dwie środkowe wartości to $5$ i $7$, więc

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

Zatem mediana wynosi $6$. Mimo że $50$ i $100$ są dużo większe od pozostałych wartości, nie zmieniają tego, które dwie liczby znajdują się w środku.

Dlaczego mediana jest ważna

Mediana pokazuje, co znajduje się w centrum zbioru danych. W uporządkowanej liście około połowa wartości leży po jednej stronie, a około połowa po drugiej.

To sprawia, że mediana jest przydatna, gdy jedna lub dwie wartości są wyjątkowo duże albo małe. Takie skrajne wartości mogą mocno wpływać na średnią, ale często znacznie mniej zmieniają medianę.

Dlatego często podaje się medianę dochodów, medianę cen domów albo medianę czasu odpowiedzi zamiast samej średniej.

Listy nieparzyste i parzyste

Jeśli lista ma nieparzystą liczbę wartości, istnieje jedna dokładna wartość środkowa. Jeśli lista ma parzystą liczbę wartości, nie ma jednej środkowej pozycji, więc w przypadku danych liczbowych oblicza się średnią z dwóch środkowych wartości.

Uważaj na zasadę uśredniania: dotyczy ona liczb. Jeśli dane to tylko uporządkowane kategorie, nadal można mówić o środkowej pozycji, ale obliczanie średniej z dwóch środkowych elementów nie ma sensu.

Najczęstsze błędy przy wyznaczaniu mediany

• Brak uporządkowania na początku. W $9, 2, 7, 4, 5$ mediana nie jest trzecią liczbą w podanym zapisie. Po uporządkowaniu do $2, 4, 5, 7, 9$ mediana wynosi $5$.
• Mylenie mediany ze średnią. Średnia uwzględnia wszystkie wartości, ale mediana opiera się tylko na środkowej pozycji w uporządkowanej liście.
• Wybieranie tylko jednej środkowej liczby w liczbowej liście o parzystej liczbie elementów. Potrzebujesz obu środkowych wartości i ich średniej.
• Zakładanie, że mediana musi występować na oryginalnej liście. W $3, 5, 8, 9$ mediana wynosi $\frac{5+8}{2} = 6.5$, a tej wartości nie ma wśród podanych liczb.

Kiedy używać mediany

Używaj mediany, gdy chcesz znaleźć typową wartość środkową, a dane mogą zawierać wartości odstające lub być skośne. Jest powszechnie stosowana w statystyce, ekonomii i codziennych podsumowaniach, gdzie kilka bardzo wysokich albo bardzo niskich wartości może zniekształcić średnią.

Spróbuj podobnego zadania

Znajdź medianę liczb $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$, a potem znajdź medianę liczb $1, 3, 4, 6, 9, 20$. Zmieniła się tylko liczba wartości, więc skup się na tym, co zmienia się w środkowym kroku. Jeśli chcesz pójść dalej, porównaj każdą medianę ze średnią i sprawdź, która miara zmienia się bardziej.