Mediana — Come trovare il valore centrale

La mediana è il valore centrale in una lista ordinata di numeri. Per trovarla, metti prima i numeri in ordine, poi prendi il centro: un solo numero centrale se la lista ha un numero dispari di valori, oppure la media dei due numeri centrali se la lista ha un numero pari di valori.

Non esiste una formula della mediana da memorizzare per ogni caso. Il metodo dipende dal fatto che il numero di valori sia dispari o pari.

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

Qui $a$ e $b$ sono i due valori centrali nella lista ordinata.

Come trovare la mediana in 3 passaggi

1. Metti i numeri in ordine dal più piccolo al più grande.
2. Conta quanti valori ci sono nella lista.
3. Prendi il valore centrale se il numero di valori è dispari, oppure fai la media dei due valori centrali se il numero di valori è pari.

Ordinare è il passaggio che gli studenti dimenticano più spesso. Senza ordinare, la parola "centrale" non ha un significato preciso.

Esempio di mediana con un numero pari di valori

Trova la mediana di $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

I numeri sono già in ordine. Ci sono $6$ valori, quindi il numero è pari. Questo significa che la mediana è la media dei due valori centrali.

I due valori centrali sono $5$ e $7$, quindi

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

Quindi la mediana è $6$. Anche se $50$ e $100$ sono molto più grandi degli altri valori, non cambiano quali sono i due valori che si trovano al centro.

Perché la mediana è importante

La mediana ti dice quale valore si trova al centro di un insieme di dati. In una lista ordinata, circa metà dei valori si trova da una parte e circa metà dall'altra.

Questo rende la mediana utile quando uno o due valori sono insolitamente grandi o piccoli. Questi valori estremi possono spostare molto la media, ma spesso modificano molto meno la mediana.

Per questo motivo si parla spesso di reddito mediano, prezzo mediano delle case o tempo di risposta mediano invece di usare solo la media.

Liste dispari e liste pari

Se la lista ha un numero dispari di valori, esiste un unico valore esattamente al centro. Se la lista ha un numero pari di valori, non c'è un solo elemento centrale, quindi in un insieme di dati numerici si fa la media dei due valori centrali.

Fai attenzione alla regola della media: si applica ai numeri. Se i dati sono solo categorie ordinate, puoi comunque parlare della posizione centrale, ma fare la media dei due elementi centrali non ha senso.

Errori comuni nel trovare la mediana

• Non ordinare prima. In $9, 2, 7, 4, 5$, la mediana non è il terzo numero così come è scritto. Dopo aver ordinato in $2, 4, 5, 7, 9$, la mediana è $5$.
• Confondere mediana e media. La media fa la media di tutti i valori, mentre la mediana usa solo la posizione centrale nella lista ordinata.
• Scegliere un solo numero centrale in una lista numerica con un numero pari di elementi. Servono entrambi i valori centrali e la loro media.
• Pensare che la mediana debba comparire nella lista originale. In $3, 5, 8, 9$, la mediana è $\frac{5+8}{2} = 6.5$, che non è uno dei valori elencati.

Quando usare la mediana

Usa la mediana quando vuoi un valore centrale tipico e i dati possono contenere valori anomali o una distribuzione asimmetrica. È comune in statistica, economia e nei riepiloghi della vita quotidiana, dove pochi valori molto alti o molto bassi possono distorcere la media.

Prova un esercizio simile

Trova la mediana di $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$, poi trova la mediana di $1, 3, 4, 6, 9, 20$. L'unica cosa che cambia è il numero di valori, quindi concentrati su ciò che cambia nel passaggio centrale. Se vuoi andare oltre, confronta ogni mediana con la media e osserva quale misura cambia di più.