Διάμεσος — Πώς να βρείτε τη μεσαία τιμή

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή σε μια ταξινομημένη λίστα αριθμών. Για να τη βρείτε, βάλτε πρώτα τους αριθμούς σε σειρά και μετά πάρτε το κέντρο: έναν μεσαίο αριθμό αν η λίστα έχει περιττό πλήθος τιμών ή τον μέσο όρο των δύο μεσαίων αριθμών αν η λίστα έχει άρτιο πλήθος τιμών.

Δεν υπάρχει ξεχωριστός τύπος της διαμέσου που να απομνημονεύετε για κάθε περίπτωση. Η μέθοδος εξαρτάται από το αν το πλήθος των τιμών είναι περιττό ή άρτιο.

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

Εδώ τα $a$ και $b$ είναι οι δύο μεσαίες τιμές στην ταξινομημένη λίστα.

Πώς να βρείτε τη διάμεσο σε 3 βήματα

1. Βάλτε τους αριθμούς σε σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.
2. Μετρήστε πόσες τιμές υπάρχουν στη λίστα.
3. Πάρτε τη μεσαία τιμή αν το πλήθος είναι περιττό ή βρείτε τον μέσο όρο των δύο μεσαίων τιμών αν το πλήθος είναι άρτιο.

Η ταξινόμηση είναι το βήμα που οι μαθητές παραλείπουν πιο συχνά. Χωρίς ταξινόμηση, η λέξη «μεσαίο» δεν έχει ακριβές νόημα.

Παράδειγμα διαμέσου με άρτιο πλήθος τιμών

Βρείτε τη διάμεσο των $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

Οι αριθμοί είναι ήδη σε σειρά. Υπάρχουν $6$ τιμές, άρα το πλήθος είναι άρτιο. Αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων τιμών.

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι $5$ και $7$, οπότε

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

Άρα η διάμεσος είναι $6$. Παρόλο που τα $50$ και $100$ είναι πολύ μεγαλύτερα από τις άλλες τιμές, δεν αλλάζουν ποιες δύο τιμές βρίσκονται στη μέση.

Γιατί έχει σημασία η διάμεσος

Η διάμεσος δείχνει τι βρίσκεται στο κέντρο ενός συνόλου δεδομένων. Σε μια ταξινομημένη λίστα, περίπου οι μισές τιμές βρίσκονται από τη μία πλευρά και περίπου οι άλλες μισές από την άλλη.

Αυτό κάνει τη διάμεσο χρήσιμη όταν μία ή δύο τιμές είναι ασυνήθιστα μεγάλες ή μικρές. Αυτές οι ακραίες τιμές μπορούν να μετακινήσουν πολύ τον μέσο όρο, αλλά συχνά αλλάζουν πολύ λιγότερο τη διάμεσο.

Γι’ αυτό οι άνθρωποι συχνά αναφέρουν το διάμεσο εισόδημα, τη διάμεση τιμή κατοικίας ή τον διάμεσο χρόνο απόκρισης αντί μόνο για τον μέσο όρο.

Λίστες με περιττό πλήθος έναντι λιστών με άρτιο πλήθος

Αν η λίστα έχει περιττό πλήθος τιμών, υπάρχει μία ακριβώς μεσαία τιμή. Αν η λίστα έχει άρτιο πλήθος τιμών, δεν υπάρχει ένα μόνο μεσαίο στοιχείο, οπότε για ένα αριθμητικό σύνολο δεδομένων παίρνετε τον μέσο όρο των δύο μεσαίων τιμών.

Προσέξτε τον κανόνα του μέσου όρου: ισχύει για αριθμούς. Αν τα δεδομένα είναι μόνο διατεταγμένες κατηγορίες, μπορείτε και πάλι να μιλήσετε για τη μεσαία θέση, αλλά ο μέσος όρος των δύο μεσαίων καταχωρίσεων δεν έχει νόημα.

Συνηθισμένα λάθη όταν βρίσκετε τη διάμεσο

• Να μην κάνετε πρώτα ταξινόμηση. Στο $9, 2, 7, 4, 5$, η διάμεσος δεν είναι ο τρίτος αριθμός όπως είναι γραμμένος. Μετά την ταξινόμηση σε $2, 4, 5, 7, 9$, η διάμεσος είναι $5$.
• Να μπερδεύετε τη διάμεσο με τον μέσο όρο. Ο μέσος όρος υπολογίζει όλες τις τιμές, ενώ η διάμεσος χρησιμοποιεί μόνο τη μεσαία θέση στην ταξινομημένη λίστα.
• Να επιλέγετε μόνο έναν μεσαίο αριθμό σε μια αριθμητική λίστα με άρτιο πλήθος στοιχείων. Χρειάζεστε και τις δύο μεσαίες τιμές και τον μέσο όρο τους.
• Να υποθέτετε ότι η διάμεσος πρέπει να εμφανίζεται στην αρχική λίστα. Στο $3, 5, 8, 9$, η διάμεσος είναι $\frac{5+8}{2} = 6.5$, που δεν είναι μία από τις δοσμένες τιμές.

Πότε να χρησιμοποιείτε τη διάμεσο

Χρησιμοποιήστε τη διάμεσο όταν θέλετε μια τυπική μεσαία τιμή και τα δεδομένα μπορεί να έχουν ακραίες τιμές ή ασυμμετρία. Είναι συνηθισμένη στη στατιστική, στα οικονομικά και σε καθημερινές περιλήψεις όπου λίγες πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές τιμές μπορούν να παραμορφώσουν τον μέσο όρο.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Βρείτε τη διάμεσο των $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$ και μετά βρείτε τη διάμεσο των $1, 3, 4, 6, 9, 20$. Το μόνο που άλλαξε είναι το πλήθος των τιμών, οπότε εστιάστε στο τι αλλάζει στο μεσαίο βήμα. Αν θέλετε να προχωρήσετε περισσότερο, συγκρίνετε κάθε διάμεσο με τον μέσο όρο και δείτε ποιο μέτρο μεταβάλλεται περισσότερο.