ค่าเฉลี่ย — ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก และค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

ค่าเฉลี่ยคือจำนวนเพียงค่าเดียวที่ใช้สรุปชุดของข้อมูลหลายค่า ในการเรียนที่โรงเรียน คำว่า "ค่าเฉลี่ย" มักหมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่บางกรณีค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักหรือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อาจเหมาะกว่า เพราะแต่ละแบบตอบคำถามคนละอย่าง

ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อทุกค่าควรถูกนับอย่างเท่าเทียมกัน ใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเมื่อบางค่าควรมีความสำคัญมากกว่าค่าอื่น และใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เมื่อข้อมูลเรียงตามเวลาและคุณต้องการทำให้ความผันผวนระยะสั้นดูเรียบขึ้น

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: ใช้เมื่อทุกค่าควรถูกนับเท่ากัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยแบบที่ใช้กันทั่วไป:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

วิธีนี้ใช้ได้เมื่อข้อมูลแต่ละค่าควรมีอิทธิพลเท่ากันทั้งหมด ถ้ามีค่าหนึ่งควรสำคัญมากกว่าอีกค่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็ไม่ใช่ตัวสรุปที่เหมาะสม

ค่าเฉลี่ยใช้ข้อมูลทุกค่าในชุด จึงมีประโยชน์และเปรียบเทียบระหว่างกลุ่มได้ง่าย แต่ก็ไวต่อค่าผิดปกติ ดังนั้นตัวเลขที่สูงหรือต่ำผิดปกติเพียงค่าเดียวอาจดึงค่าเฉลี่ยให้เบี่ยงไปจากค่าที่ดูเป็นปกติได้

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก: ใช้เมื่อบางค่ามีความสำคัญมากกว่า

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักให้ความสำคัญกับค่าต่าง ๆ ไม่เท่ากัน:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

ในที่นี้ $x_i$ คือค่าข้อมูล และ $w_i$ คือน้ำหนักของค่านั้น น้ำหนักที่มากกว่าจะทำให้ค่านั้นมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์มากขึ้น

นี่คือเครื่องมือที่เหมาะเมื่อโจทย์บอกอยู่แล้วว่าบางส่วนสำคัญกว่า เช่น คะแนนรายวิชาที่แบ่งตามสัดส่วน ผลตอบแทนการลงทุนตามสัดส่วนพอร์ต และราคาเฉลี่ยตามจำนวนสินค้าที่ซื้อขาย ล้วนเป็นรูปแบบนี้

มีเงื่อนไขสำคัญข้อหนึ่งคือ น้ำหนักรวม $\sum w_i$ ต้องไม่เป็น $0$ และผลลัพธ์จะมีความหมายก็ต่อเมื่อน้ำหนักที่ใช้สอดคล้องกับสถานการณ์ที่คุณกำลังจำลองจริง ๆ

ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่: ใช้เพื่อทำให้ข้อมูลตามเวลาดูเรียบขึ้น

ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ใช้กับข้อมูลที่เรียงตามลำดับเวลา แทนที่จะหาค่าเฉลี่ยของทั้งชุดในครั้งเดียว คุณจะหาค่าเฉลี่ยจากช่วงข้อมูลล่าสุดที่เลื่อนไปเรื่อย ๆ

สำหรับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อย่างง่ายที่มีความยาวหน้าต่างเป็น $k$:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

วิธีนี้ช่วยทำให้ข้อมูลที่ผันผวนดูเรียบขึ้น จึงมองเห็นแนวโน้มระยะสั้นได้ง่ายกว่าเดิม แต่มันไม่ได้ลบความแปรปรวนออกไป และไม่ได้ใช้ทำนายอนาคต มันเพียงสรุปข้อมูลล่าสุดตามหน้าต่างที่คุณเลือกเท่านั้น

ความยาวของหน้าต่างมีผลมาก เมื่อเปลี่ยนหน้าต่าง ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ก็เปลี่ยนตามไปด้วย หน้าต่างที่ยาวกว่ามักจะดูเรียบกว่า เพราะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงช้ากว่า

ตัวอย่างคำนวณหนึ่งข้อที่แสดงความแตกต่าง

สมมติว่าคะแนนแบบฝึกหัดของนักเรียนคนหนึ่งตลอดห้าสัปดาห์คือ $70$, $75$, $80$, $85$ และ $100$

ถ้าคุณต้องการค่าเฉลี่ยรวมเพียงค่าเดียวของทั้งห้าสัปดาห์ ให้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $82$

ตอนนี้สมมติว่าครูต้องการให้งานช่วงหลังมีน้ำหนักมากกว่า โดยใช้น้ำหนัก $1, 1, 1, 2, 2$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือ

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือ $85$ คะแนนช่วงหลังมีความสำคัญมากขึ้น จึงทำให้ผลลัพธ์สูงขึ้น

ถ้าคุณต้องการดูแนวโน้มล่าสุดให้เรียบขึ้นแทน ให้ใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ $3$ สัปดาห์สำหรับสามสัปดาห์สุดท้าย:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

ค่านี้ไม่ได้มาแทนค่าเฉลี่ยรวมของทั้งวิชา แต่มันตอบอีกคำถามหนึ่งว่า ผลการเรียนในช่วงล่าสุดเป็นอย่างไร

ตัวเลขห้าค่าเดียวกันให้ค่าเฉลี่ยออกมาสามแบบที่ต่างกัน เพราะเป้าหมายของการใช้งานเปลี่ยนไป นี่คือแนวคิดสำคัญของการเลือกค่าเฉลี่ยที่เหมาะสม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อทำงานกับค่าเฉลี่ย

ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั้งที่ข้อมูลมีน้ำหนักอยู่แล้ว

ถ้าหมวดคะแนน ปริมาณ หรือร้อยละมีความสำคัญไม่เท่ากัน การใช้ค่าเฉลี่ยธรรมดาอาจทำให้เข้าใจผิดได้ การให้น้ำหนักเท่ากันจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทุกค่าควรมีส่วนร่วมเท่ากันจริง ๆ

เอาค่าเฉลี่ยหลายค่าไปเฉลี่ยต่อโดยไม่เก็บน้ำหนักเดิมไว้

ถ้าห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน $10$ คน และอีกห้องมี $30$ คน โดยทั่วไปคุณไม่สามารถนำค่าเฉลี่ยของสองห้องมาเฉลี่ยต่อเหมือนเป็นกลุ่มที่มีขนาดเท่ากันได้ คุณต้องรู้จำนวนจริงหรือน้ำหนักที่อยู่เบื้องหลัง

ลืมหารด้วยน้ำหนักรวม

สำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก การคูณค่าข้อมูลด้วยน้ำหนักเป็นเพียงส่วนหนึ่งของขั้นตอน คุณยังต้องหารด้วย $\sum w_i$ ด้วย

เรียกค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่โดยไม่บอกความยาวหน้าต่าง

ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะยังไม่สมบูรณ์ถ้าคุณไม่บอกว่าคุณใช้หน้าต่างขนาดเท่าไร ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ $3$ วัน และค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ $30$ วัน ใช้แทนกันไม่ได้

ค่าเฉลี่ยแต่ละแบบใช้เมื่อใด

ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับคะแนนสอบ ค่าการวัด หรือข้อมูลอื่น ๆ ที่ทุกค่าควรถูกนับอย่างเท่าเทียมกัน

ใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเมื่อโจทย์กำหนดความสำคัญไว้แล้ว เช่น หมวดคะแนนหรือจำนวนสินค้าที่ขาย

ใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่กับข้อมูลตามเวลา เช่น อุณหภูมิ ยอดขาย การจราจร หรือความก้าวหน้าในการเรียน เมื่อค่าดิบขึ้นลงมากจากช่วงหนึ่งไปอีกช่วงหนึ่ง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

เลือกตัวเลขห้าค่าจากข้อมูลงานหรือการเรียนของคุณเอง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต จากนั้นหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยให้สองค่าหลังสุดนับเป็นสองเท่า แล้วหาค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบ $3$ ค่าในหน้าต่างสุดท้าย การเปรียบเทียบสั้น ๆ นี้มักช่วยให้เห็นว่าโจทย์ของคุณต้องการค่าเฉลี่ยแบบใดจริง ๆ