中位数——如何找到中间值

中位数是按大小规律排列后，位于中间位置的那个数。求中位数时，先把数据按顺序排好，再找中间：如果数据个数是奇数，就取正中间的那个数；如果数据个数是偶数，就取中间两个数的平均数。

中位数并没有一个适用于所有情况、需要死记硬背的单独公式。具体方法取决于数据个数是奇数还是偶数。

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

这里的 $a$ 和 $b$ 是排好序后的两个中间值。

3 步求中位数

1. 先把数据按从小到大的顺序排列。
2. 数一数列表中一共有多少个值。
3. 如果个数是奇数，就取中间值；如果个数是偶数，就取中间两个值的平均数。

排序这一步最容易被学生忽略。如果不先排序，“中间”这个词就没有明确的意义。

偶数个数据的中位数例题

求 $2, 4, 5, 7, 50, 100$ 的中位数。

这些数已经按顺序排好了。一共有 $6$ 个值，所以个数是偶数。这意味着中位数是中间两个值的平均数。

中间两个值是 $5$ 和 $7$，所以

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

所以中位数是 $6$。虽然 $50$ 和 $100$ 比其他数大得多，但它们不会改变哪两个数位于中间。

为什么中位数很重要

中位数告诉你一组数据中心位置上的值是什么。在排好序的列表中，大约一半的数据在它的一边，另一半的数据在它的另一边。

这使得中位数在某一两个值特别大或特别小时非常有用。这些极端值可能会大幅拉动平均数，但对中位数的影响通常小得多。

这就是为什么人们常常报告收入中位数、房价中位数或响应时间中位数，而不只看平均数。

奇数个数据与偶数个数据

如果一组数据有奇数个值，就会有一个准确的中间值。如果一组数据有偶数个值，就没有唯一的中间项，因此对于数值型数据，需要把中间两个值取平均。

要注意这个取平均的规则：它适用于数字。如果数据只是有顺序的类别，你仍然可以讨论中间位置，但把中间两项取平均就没有意义了。

求中位数时的常见错误

• 没有先排序。在 $9, 2, 7, 4, 5$ 中，中位数不是按原顺序写出来的第三个数。排序后得到 $2, 4, 5, 7, 9$，中位数才是 $5$。
• 把中位数和平均数混淆。平均数要对所有值求平均，而中位数只看排好序后中间的位置。
• 在偶数个数值数据中只选一个中间数。你需要找到中间两个值，并求它们的平均数。
• 以为中位数一定出现在原始列表中。在 $3, 5, 8, 9$ 中，中位数是 $\frac{5+8}{2} = 6.5$，它并不是列表中的某个值。

什么时候使用中位数

当你想找一个具有代表性的中间值，而且数据中可能有离群值或分布偏斜时，就适合使用中位数。它在统计学、经济学以及日常数据总结中都很常见，因为少数特别高或特别低的值可能会让平均数失真。

试试类似的问题

求 $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$ 的中位数，再求 $1, 3, 4, 6, 9, 20$ 的中位数。唯一变化的是数据个数，所以重点观察中间这一步有什么不同。如果你想进一步练习，可以把每个中位数和平均数进行比较，看看哪一种统计量变化更大。