Trung vị — Cách tìm giá trị ở giữa

Trung vị là giá trị nằm ở giữa trong một danh sách số đã được sắp xếp. Để tìm trung vị, trước hết hãy sắp xếp các số theo thứ tự, rồi lấy phần ở giữa: một số ở giữa nếu danh sách có số lượng giá trị lẻ, hoặc lấy trung bình cộng của hai số ở giữa nếu danh sách có số lượng giá trị chẵn.

Không có một công thức trung vị riêng mà bạn phải ghi nhớ cho mọi trường hợp. Cách làm phụ thuộc vào việc số lượng giá trị là lẻ hay chẵn.

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

Ở đây $a$ và $b$ là hai giá trị ở giữa trong danh sách đã được sắp xếp.

Cách tìm trung vị trong 3 bước

1. Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn.
2. Đếm xem có bao nhiêu giá trị trong danh sách.
3. Lấy giá trị ở giữa nếu số lượng là lẻ, hoặc lấy trung bình cộng của hai giá trị ở giữa nếu số lượng là chẵn.

Sắp xếp là bước mà học sinh thường bỏ sót nhất. Nếu không sắp xếp, từ "ở giữa" sẽ không còn mang ý nghĩa chính xác.

Ví dụ về trung vị với số lượng giá trị chẵn

Tìm trung vị của $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

Các số đã được sắp xếp sẵn. Có $6$ giá trị, nên số lượng là chẵn. Điều đó có nghĩa là trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.

Hai giá trị ở giữa là $5$ và $7$, nên

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

Vậy trung vị là $6$. Dù $50$ và $100$ lớn hơn nhiều so với các giá trị còn lại, chúng không làm thay đổi hai giá trị nào nằm ở giữa.

Vì sao trung vị quan trọng

Trung vị cho biết giá trị nào nằm ở trung tâm của một tập dữ liệu. Trong một danh sách đã sắp xếp, khoảng một nửa số giá trị nằm ở một phía và khoảng một nửa nằm ở phía còn lại.

Điều đó làm cho trung vị trở nên hữu ích khi một hoặc hai giá trị lớn hoặc nhỏ bất thường xuất hiện. Những giá trị cực đoan đó có thể kéo số trung bình thay đổi nhiều, nhưng thường ảnh hưởng đến trung vị ít hơn.

Vì vậy, người ta thường báo cáo thu nhập trung vị, giá nhà trung vị hoặc thời gian phản hồi trung vị thay vì chỉ dùng số trung bình.

Danh sách lẻ và danh sách chẵn

Nếu danh sách có số lượng giá trị lẻ, sẽ có đúng một giá trị nằm chính giữa. Nếu danh sách có số lượng giá trị chẵn, sẽ không có một phần tử nào nằm chính giữa, nên với dữ liệu số, bạn lấy trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.

Hãy cẩn thận với quy tắc lấy trung bình: quy tắc này áp dụng cho số. Nếu dữ liệu chỉ là các nhóm được sắp theo thứ tự, bạn vẫn có thể nói về vị trí ở giữa, nhưng việc lấy trung bình của hai mục ở giữa sẽ không có ý nghĩa.

Những lỗi thường gặp khi tìm trung vị

• Không sắp xếp trước. Trong $9, 2, 7, 4, 5$, trung vị không phải là số thứ ba như cách viết ban đầu. Sau khi sắp xếp thành $2, 4, 5, 7, 9$, trung vị là $5$.
• Nhầm lẫn giữa trung vị và số trung bình. Số trung bình lấy trung bình của tất cả các giá trị, còn trung vị chỉ dùng vị trí ở giữa trong danh sách đã sắp xếp.
• Chỉ chọn một số ở giữa trong danh sách số có kích thước chẵn. Bạn cần cả hai giá trị ở giữa và trung bình cộng của chúng.
• Cho rằng trung vị phải xuất hiện trong danh sách ban đầu. Trong $3, 5, 8, 9$, trung vị là $\frac{5+8}{2} = 6.5$, và đó không phải là một trong các giá trị đã cho.

Khi nào nên dùng trung vị

Hãy dùng trung vị khi bạn muốn một giá trị điển hình ở giữa và dữ liệu có thể có ngoại lệ hoặc bị lệch. Trung vị rất phổ biến trong thống kê, kinh tế học và các bản tóm tắt hằng ngày, nơi một vài giá trị quá cao hoặc quá thấp có thể làm méo số trung bình.

Thử một bài tương tự

Hãy tìm trung vị của $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$, rồi tìm trung vị của $1, 3, 4, 6, 9, 20$. Điều duy nhất thay đổi là số lượng giá trị, vì vậy hãy tập trung vào điều thay đổi ở bước tìm phần giữa. Nếu muốn đi xa hơn, hãy so sánh mỗi trung vị với số trung bình và xem đại lượng nào thay đổi nhiều hơn.