Median — So findest du den mittleren Wert

Der Median ist der mittlere Wert in einer sortierten Liste von Zahlen. Um ihn zu finden, bringst du die Zahlen zuerst in die richtige Reihenfolge und nimmst dann die Mitte: eine einzelne mittlere Zahl, wenn die Liste eine ungerade Anzahl von Werten hat, oder den Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen, wenn die Liste eine gerade Anzahl von Werten hat.

Es gibt keine eigene Median-Formel, die du für jeden Fall auswendig lernst. Die Vorgehensweise hängt davon ab, ob die Anzahl der Werte gerade oder ungerade ist.

$$\text{ungerade Anzahl von Werten} \Rightarrow \text{Median} = \text{mittlerer Wert}$$ $$\text{gerade Anzahl von Werten} \Rightarrow \text{Median} = \frac{a+b}{2}$$

Hier sind $a$ und $b$ die beiden mittleren Werte in der sortierten Liste.

So findest du den Median in 3 Schritten

1. Ordne die Zahlen von klein nach groß.
2. Zähle, wie viele Werte in der Liste sind.
3. Nimm den mittleren Wert, wenn die Anzahl ungerade ist, oder bilde den Durchschnitt der beiden mittleren Werte, wenn die Anzahl gerade ist.

Das Sortieren ist der Schritt, den Schülerinnen und Schüler am häufigsten vergessen. Ohne Sortierung hat das Wort „Mitte“ keine genaue Bedeutung.

Median-Beispiel mit einer geraden Anzahl von Werten

Bestimme den Median von $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

Die Zahlen sind bereits geordnet. Es gibt $6$ Werte, also ist die Anzahl gerade. Das bedeutet, der Median ist der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Die beiden mittleren Werte sind $5$ und $7$, also gilt:

$$\text{Median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

Der Median ist also $6$. Auch wenn $50$ und $100$ viel größer sind als die anderen Werte, ändern sie nicht, welche zwei Werte in der Mitte liegen.

Warum der Median wichtig ist

Der Median zeigt dir, was in der Mitte eines Datensatzes liegt. In einer sortierten Liste liegt ungefähr die Hälfte der Werte auf der einen Seite und ungefähr die Hälfte auf der anderen.

Dadurch ist der Median nützlich, wenn ein oder zwei Werte ungewöhnlich groß oder klein sind. Solche Extremwerte können den Mittelwert stark verschieben, den Median aber oft deutlich weniger.

Deshalb geben Menschen oft das Medianeinkommen, den Medianpreis von Häusern oder die mittlere Reaktionszeit als Median an und nicht nur als Mittelwert.

Ungerade Listen vs. gerade Listen

Wenn die Liste eine ungerade Anzahl von Werten hat, gibt es genau einen mittleren Wert. Wenn die Liste eine gerade Anzahl von Werten hat, gibt es kein einzelnes mittleres Element, deshalb bildet man bei numerischen Daten den Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Achte auf die Regel mit dem Durchschnitt: Sie gilt für Zahlen. Wenn die Daten nur geordnete Kategorien sind, kannst du zwar immer noch über die mittlere Position sprechen, aber den Durchschnitt der beiden mittleren Einträge zu bilden ergibt keinen Sinn.

Häufige Fehler beim Bestimmen des Medians

• Nicht zuerst sortieren. In $9, 2, 7, 4, 5$ ist der Median nicht die dritte Zahl, so wie sie dasteht. Nach dem Sortieren zu $2, 4, 5, 7, 9$ ist der Median $5$.
• Median und Mittelwert verwechseln. Der Mittelwert bildet den Durchschnitt aller Werte, aber der Median nutzt nur die mittlere Position in der sortierten Liste.
• Bei einer numerischen Liste mit gerader Anzahl nur eine mittlere Zahl auswählen. Du brauchst beide mittleren Werte und ihren Durchschnitt.
• Annehmen, dass der Median in der ursprünglichen Liste vorkommen muss. In $3, 5, 8, 9$ ist der Median $\frac{5+8}{2} = 6.5$, und dieser Wert steht nicht in der Liste.

Wann du den Median verwenden solltest

Verwende den Median, wenn du einen typischen mittleren Wert suchst und die Daten Ausreißer haben oder schief verteilt sein können. Er ist in der Statistik, in der Wirtschaft und in alltäglichen Zusammenfassungen üblich, wenn einige sehr hohe oder sehr niedrige Werte den Mittelwert verzerren können.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Bestimme den Median von $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$ und danach den Median von $1, 3, 4, 6, 9, 20$. Das Einzige, was sich geändert hat, ist die Anzahl der Werte, also achte darauf, was sich im mittleren Schritt verändert. Wenn du noch weitergehen möchtest, vergleiche jeden Median mit dem Mittelwert und schau, welches Maß sich stärker verändert.