Médiane — Comment trouver la valeur du milieu

La médiane est la valeur du milieu dans une liste de nombres triée. Pour la trouver, il faut d’abord ranger les nombres dans l’ordre, puis prendre le centre : un seul nombre du milieu si la liste contient un nombre impair de valeurs, ou la moyenne des deux nombres du milieu si la liste contient un nombre pair de valeurs.

Il n’existe pas de formule unique de la médiane à mémoriser pour tous les cas. La méthode dépend du fait que le nombre de valeurs soit impair ou pair.

$$\text{odd number of values} \Rightarrow \text{median} = \text{middle value}$$ $$\text{even number of values} \Rightarrow \text{median} = \frac{a+b}{2}$$

Ici, $a$ et $b$ sont les deux valeurs du milieu dans la liste triée.

Comment trouver la médiane en 3 étapes

1. Rangez les nombres du plus petit au plus grand.
2. Comptez combien de valeurs contient la liste.
3. Prenez la valeur du milieu si le nombre de valeurs est impair, ou calculez la moyenne des deux valeurs du milieu s’il est pair.

Le tri est l’étape que les élèves oublient le plus souvent. Sans trier, le mot « milieu » n’a pas de sens précis.

Exemple de médiane avec un nombre pair de valeurs

Trouvez la médiane de $2, 4, 5, 7, 50, 100$.

Les nombres sont déjà rangés dans l’ordre. Il y a $6$ valeurs, donc le nombre de valeurs est pair. Cela signifie que la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.

Les deux valeurs du milieu sont $5$ et $7$, donc

$$\text{median} = \frac{5+7}{2} = 6$$

La médiane est donc $6$. Même si $50$ et $100$ sont beaucoup plus grands que les autres valeurs, ils ne changent pas quelles sont les deux valeurs situées au milieu.

Pourquoi la médiane est importante

La médiane indique ce qui se trouve au centre d’un ensemble de données. Dans une liste triée, environ la moitié des valeurs se trouve d’un côté et environ l’autre moitié de l’autre côté.

Cela rend la médiane utile quand une ou deux valeurs sont inhabituellement grandes ou petites. Ces valeurs extrêmes peuvent beaucoup faire varier la moyenne, mais elles modifient souvent bien moins la médiane.

C’est pourquoi on parle souvent du revenu médian, du prix médian d’un logement ou du temps de réponse médian plutôt que seulement de la moyenne.

Listes impaires et listes paires

Si la liste contient un nombre impair de valeurs, il existe une seule valeur exactement au milieu. Si la liste contient un nombre pair de valeurs, il n’y a pas un seul élément central ; pour une série de données numériques, on calcule donc la moyenne des deux valeurs du milieu.

Attention à la règle de la moyenne : elle s’applique aux nombres. Si les données sont seulement des catégories ordonnées, on peut encore parler de position centrale, mais faire la moyenne des deux éléments du milieu n’a pas de sens.

Erreurs fréquentes pour trouver la médiane

• Ne pas trier d’abord. Dans $9, 2, 7, 4, 5$, la médiane n’est pas le troisième nombre tel qu’il est écrit. Après tri en $2, 4, 5, 7, 9$, la médiane est $5$.
• Confondre médiane et moyenne. La moyenne utilise toutes les valeurs, tandis que la médiane ne dépend que de la position centrale dans la liste triée.
• Ne choisir qu’un seul nombre du milieu dans une liste numérique de taille paire. Il faut prendre les deux valeurs du milieu et calculer leur moyenne.
• Penser que la médiane doit forcément apparaître dans la liste d’origine. Dans $3, 5, 8, 9$, la médiane est $\frac{5+8}{2} = 6.5$, qui n’est pas l’une des valeurs de la liste.

Quand utiliser la médiane

Utilisez la médiane lorsque vous cherchez une valeur centrale représentative et que les données peuvent contenir des valeurs aberrantes ou être asymétriques. Elle est courante en statistique, en économie et dans les résumés du quotidien, où quelques valeurs très élevées ou très faibles peuvent déformer la moyenne.

Essayez un problème similaire

Trouvez la médiane de $1, 3, 4, 6, 9, 20, 25$, puis trouvez la médiane de $1, 3, 4, 6, 9, 20$. La seule chose qui change est le nombre de valeurs, alors concentrez-vous sur ce qui change à l’étape du milieu. Si vous voulez aller plus loin, comparez chaque médiane à la moyenne et voyez quelle mesure varie le plus.