Πώς να βρείτε την κλίση

Για να βρείτε την κλίση, διαιρέστε τη μεταβολή του $y$ με τη μεταβολή του $x$. Αν γνωρίζετε δύο σημεία, χρησιμοποιήστε τον τύπο της κλίσης

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

αρκεί να ισχύει $x_2 \ne x_1$. Αυτή είναι η ίδια ιδέα με το rise over run: πόσο ανεβαίνει ή κατεβαίνει η ευθεία σε σύγκριση με το πόσο προχωρά προς τα δεξιά.

Η κλίση δείχνει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται μια ευθεία. Θετική κλίση σημαίνει ότι η ευθεία ανεβαίνει από αριστερά προς τα δεξιά, αρνητική κλίση σημαίνει ότι κατεβαίνει, και κλίση $0$ σημαίνει ότι η ευθεία είναι οριζόντια.

Αν $x_2 - x_1 = 0$, η ευθεία είναι κατακόρυφη. Σε αυτή την περίπτωση η κλίση δεν ορίζεται, επειδή ο τύπος θα απαιτούσε διαίρεση με το $0$.

Τι σημαίνει η κλίση

Η κλίση είναι ρυθμός μεταβολής. Συγκρίνει το πόσο αλλάζει το $y$ με το πόσο αλλάζει το $x$.

Γι’ αυτό η κλίση εμφανίζεται στην άλγεβρα, στα γραφήματα και στους πίνακες δεδομένων. Η ίδια ιδέα λειτουργεί παντού όπου μια σχέση αλλάζει με σταθερό ρυθμό.

Πώς να βρείτε την κλίση από δύο σημεία

Χρησιμοποιήστε την ίδια σειρά αφαίρεσης στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

1. Διαλέξτε τα δύο σημεία.
2. Αφαιρέστε τις τιμές του $y$ για να βρείτε τη μεταβολή στο $y$.
3. Αφαιρέστε τις τιμές του $x$ με την ίδια σειρά για να βρείτε τη μεταβολή στο $x$.
4. Διαιρέστε.
5. Απλοποιήστε, αν γίνεται.

Αν αντιστρέψετε και τις δύο σειρές αφαίρεσης, η κλίση παραμένει ίδια. Αν αντιστρέψετε μόνο τη μία, το πρόσημο θα είναι λάθος.

Λυμένο παράδειγμα: Βρείτε την κλίση ανάμεσα σε δύο σημεία

Βρείτε την κλίση της ευθείας που περνά από τα $(2, 3)$ και $(5, 9)$.

Ξεκινήστε με τον τύπο:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες με την ίδια σειρά:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Η κλίση είναι $2$. Αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που το $x$ αυξάνεται κατά $1$, το $y$ αυξάνεται κατά $2$.

Μπορείτε επίσης να το διαβάσετε ως rise over run. Από το $(2, 3)$ στο $(5, 9)$, η ευθεία ανεβαίνει κατά $6$ και πηγαίνει δεξιά κατά $3$, άρα η κλίση είναι $6/3 = 2$.

Πώς να βρείτε την κλίση από ένα γράφημα

Διαλέξτε δύο καθαρά σημεία του πλέγματος πάνω στην ευθεία. Μετρήστε πρώτα την κατακόρυφη μεταβολή και μετά την οριζόντια μεταβολή.

Αν κινηθείτε προς τα πάνω κατά $4$ και προς τα δεξιά κατά $2$, η κλίση είναι

$$\frac{4}{2} = 2$$

Αν κινηθείτε προς τα κάτω κατά $3$ και προς τα δεξιά κατά $1$, η κλίση είναι

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Η χρήση σημείων τομής του πλέγματος βοηθά να αποφύγετε λάθη στο μέτρημα.

Πώς να βρείτε την κλίση από έναν πίνακα

Ένας πίνακας δίνει κλίση μόνο όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός. Διαλέξτε δύο γραμμές και υπολογίστε

$$\frac{\text{μεταβολή στο } y}{\text{μεταβολή στο } x}$$

Αν παίρνετε την ίδια τιμή από διαφορετικά ζεύγη γραμμών, η σχέση είναι γραμμική και αυτή η σταθερή τιμή είναι η κλίση.

Για παράδειγμα, αν το $x$ αυξάνεται από $1$ σε $3$ ενώ το $y$ αυξάνεται από $4$ σε $10$, τότε

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Συνηθισμένα λάθη όταν βρίσκετε την κλίση

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να κάνετε τις αφαιρέσεις με διαφορετική σειρά. Αν χρησιμοποιείτε $y_2 - y_1$, πρέπει επίσης να χρησιμοποιείτε $x_2 - x_1$.

Ένα άλλο λάθος είναι να λέτε ότι η κλίση μιας κατακόρυφης ευθείας είναι $0$. Αν δύο σημεία έχουν την ίδια τιμή $x$, ο παρονομαστής είναι $0$, άρα η κλίση δεν ορίζεται.

Ένα τρίτο λάθος είναι να υποθέτετε ότι κάθε πίνακας έχει κλίση. Ένας πίνακας έχει μία μόνο κλίση μόνο αν ο ρυθμός μεταβολής παραμένει σταθερός.

Πού χρησιμοποιείται η κλίση

Η κλίση χρησιμοποιείται κάθε φορά που θέλετε να περιγράψετε πώς αλλάζει ένα μέγεθος σε σύγκριση με ένα άλλο. Τη συναντάτε στη γραφική παράσταση ευθειών, στη γραφή γραμμικών εξισώσεων, σε τύπους φυσικής με σταθερούς ρυθμούς και σε πίνακες δεδομένων που ακολουθούν γραμμικό μοτίβο.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Βρείτε την κλίση ανάμεσα στα $(1, -2)$ και $(4, 7)$. Γράψτε το βήμα της αφαίρεσης πριν απλοποιήσετε και μετά αποφασίστε αν η ευθεία ανεβαίνει ή κατεβαίνει καθώς το $x$ αυξάνεται.

Αν θέλετε ένα ακόμη παράδειγμα, δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή με δύο νέα σημεία και ελέγξτε αν ο παρονομαστής παραμένει διάφορος του μηδενός πριν διαιρέσετε.