傾きの求め方

傾きを求めるには、$y$ の変化量を $x$ の変化量で割ります。2点がわかっているなら、傾きの公式

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

を使います。ただし、$x_2 \ne x_1$ である必要があります。これは「上がり方 ÷ 進み方」と同じ考え方で、右にどれだけ進むかに対して、直線がどれだけ上がるか下がるかを表します。

傾きは、直線がどれくらいの速さで変化するかを表します。傾きが正なら直線は左から右へ上がり、負なら下がります。傾きが $0$ なら、その直線は水平です。

もし $x_2 - x_1 = 0$ なら、その直線は垂直です。この場合、公式では $0$ で割ることになるため、傾きは定義されません。

傾きの意味

傾きは変化の割合です。$x$ がどれだけ変わると、$y$ がどれだけ変わるかを比べています。

そのため、傾きは代数、グラフ、データ表でよく使われます。同じ考え方は、関係が一定の割合で変化する場面ならどこでも成り立ちます。

2点から傾きを求める方法

分子と分母で、引く順序をそろえてください。

1. 2点を選びます。
2. $y$ の値を引いて、$y$ の変化量を求めます。
3. 同じ順序で $x$ の値を引いて、$x$ の変化量を求めます。
4. 割ります。
5. できれば簡単にします。

両方の引き算の順序を逆にしても、傾きは同じです。片方だけ逆にすると、符号が間違います。

計算例：2点間の傾きを求める

$(2, 3)$ と $(5, 9)$ を通る直線の傾きを求めます。

まず公式を書きます。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

同じ順序で座標を代入します。

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

傾きは $2$ です。これは、$x$ が $1$ 増えるたびに、$y$ が $2$ 増えることを意味します。

これは「上がり方 ÷ 進み方」として読むこともできます。$(2, 3)$ から $(5, 9)$ までで、直線は上に $6$、右に $3$ 進むので、傾きは $6/3 = 2$ です。

グラフから傾きを求める方法

直線上のはっきりした格子点を2つ選びます。まず縦の変化量を数え、次に横の変化量を数えます。

上に $4$、右に $2$ 進むなら、傾きは

$$\frac{4}{2} = 2$$

下に $3$、右に $1$ 進むなら、傾きは

$$\frac{-3}{1} = -3$$

格子の交点を使うと、数え間違いを防ぎやすくなります。

表から傾きを求める方法

表から傾きが求められるのは、変化の割合が一定のときだけです。2つの行を選んで、

$$\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$$

を計算します。

異なる行の組で同じ値になるなら、その関係は一次関係で、その一定の値が傾きです。

たとえば、$x$ が $1$ から $3$ に増え、同時に $y$ が $4$ から $10$ に増えるなら、

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

傾きを求めるときのよくあるミス

よくあるミスの1つは、引き算の順序がそろっていないことです。$y_2 - y_1$ を使うなら、$x_2 - x_1$ も使わなければなりません。

もう1つのミスは、垂直な直線の傾きを $0$ としてしまうことです。2点の $x$ 座標が同じなら、分母は $0$ になるので、傾きは定義されません。

3つ目のミスは、どんな表にも傾きがあると思い込むことです。表に1つの傾きがあるのは、変化の割合が一定のときだけです。

傾きが使われる場面

傾きは、ある量が別の量に対してどう変化するかを表したいときに使われます。直線のグラフ、一次方程式、一定の割合をもつ物理の公式、一次的なパターンに従うデータ表などで見られます。

自分でもやってみよう

$(1, -2)$ と $(4, 7)$ の間の傾きを求めてみましょう。簡単にする前に引き算の式を書き、そのあとで $x$ が増えると直線が上がるか下がるかを考えてください。

もう1問やってみたいなら、新しい2点を自分で選んで試してみましょう。割る前に、分母が $0$ でないことも確認してください。