Cara Mencari Gradien

Untuk mencari gradien, bagi perubahan pada $y$ dengan perubahan pada $x$. Jika Anda mengetahui dua titik, gunakan rumus gradien

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

selama $x_2 \ne x_1$. Ini sama dengan konsep naik per geser: seberapa banyak garis naik atau turun dibandingkan dengan seberapa jauh garis bergerak ke kanan.

Gradien menunjukkan seberapa cepat suatu garis berubah. Gradien positif berarti garis naik dari kiri ke kanan, gradien negatif berarti garis turun, dan gradien $0$ berarti garis horizontal.

Jika $x_2 - x_1 = 0$, garis tersebut vertikal. Dalam kasus itu, gradien tidak terdefinisi karena rumusnya memerlukan pembagian dengan $0$.

Apa Arti Gradien

Gradien adalah laju perubahan. Gradien membandingkan seberapa besar $y$ berubah dengan seberapa besar $x$ berubah.

Itulah sebabnya gradien muncul dalam aljabar, grafik, dan tabel data. Gagasan yang sama berlaku di mana pun suatu hubungan berubah dengan laju tetap.

Cara Mencari Gradien dari Dua Titik

Gunakan urutan pengurangan yang sama pada pembilang dan penyebut:

1. Pilih dua titik.
2. Kurangkan nilai $y$ untuk mendapatkan perubahan pada $y$.
3. Kurangkan nilai $x$ dengan urutan yang sama untuk mendapatkan perubahan pada $x$.
4. Bagi.
5. Sederhanakan jika memungkinkan.

Jika Anda membalik kedua urutan pengurangan, gradien tetap sama. Jika Anda hanya membalik salah satunya, tandanya akan salah.

Contoh Soal: Mencari Gradien Antara Dua Titik

Carilah gradien garis yang melalui $(2, 3)$ dan $(5, 9)$.

Mulai dengan rumus:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Substitusikan koordinat dalam urutan yang sama:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Gradiennya adalah $2$. Artinya, setiap kali $x$ bertambah $1$, $y$ bertambah $2$.

Anda juga bisa membacanya sebagai naik per geser. Dari $(2, 3)$ ke $(5, 9)$, garis naik $6$ dan bergerak ke kanan $3$, jadi gradiennya adalah $6/3 = 2$.

Cara Mencari Gradien dari Grafik

Pilih dua titik kisi yang jelas pada garis. Hitung perubahan vertikal terlebih dahulu, lalu perubahan horizontal.

Jika Anda bergerak naik $4$ dan ke kanan $2$, gradiennya adalah

$$\frac{4}{2} = 2$$

Jika Anda bergerak turun $3$ dan ke kanan $1$, gradiennya adalah

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Menggunakan titik perpotongan kisi membantu menghindari kesalahan menghitung.

Cara Mencari Gradien dari Tabel

Sebuah tabel hanya memiliki gradien jika laju perubahannya konstan. Pilih dua baris lalu hitung

$$\frac{\text{perubahan pada } y}{\text{perubahan pada } x}$$

Jika Anda mendapatkan nilai yang sama dari pasangan baris yang berbeda, hubungan tersebut linear dan nilai konstan itu adalah gradiennya.

Sebagai contoh, jika $x$ bertambah dari $1$ ke $3$ sementara $y$ bertambah dari $4$ ke $10$, maka

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Kesalahan Umum Saat Mencari Gradien

Salah satu kesalahan umum adalah mengurangkan dengan urutan yang berbeda. Jika Anda menggunakan $y_2 - y_1$, Anda juga harus menggunakan $x_2 - x_1$.

Kesalahan lain adalah menyebut gradien garis vertikal sebagai $0$. Jika dua titik memiliki nilai $x$ yang sama, penyebutnya adalah $0$, sehingga gradien tidak terdefinisi.

Kesalahan ketiga adalah menganggap setiap tabel memiliki gradien. Tabel hanya memiliki satu gradien jika laju perubahannya tetap konstan.

Kapan Gradien Digunakan

Gradien digunakan setiap kali Anda ingin menjelaskan bagaimana satu besaran berubah dibandingkan dengan besaran lain. Anda akan menemukannya saat menggambar garis, menulis persamaan linear, rumus fisika dengan laju tetap, dan tabel data yang mengikuti pola linear.

Coba Versi Anda Sendiri

Carilah gradien antara $(1, -2)$ dan $(4, 7)$. Tuliskan langkah pengurangannya sebelum Anda menyederhanakan, lalu tentukan apakah garis naik atau turun saat $x$ bertambah.

Jika Anda ingin satu kasus lagi, coba buat versi Anda sendiri dengan dua titik baru dan periksa apakah penyebutnya tetap tidak nol sebelum Anda membagi.