기울기 구하는 법

기울기를 구하려면 $y$의 변화량을 $x$의 변화량으로 나누면 됩니다. 두 점을 알고 있다면 기울기 공식

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

을 사용하세요. 단, $x_2 \ne x_1$이어야 합니다. 이것은 rise over run과 같은 뜻으로, 직선이 오른쪽으로 얼마나 가는 동안 위나 아래로 얼마나 움직이는지를 나타냅니다.

기울기는 직선이 얼마나 빠르게 변하는지를 알려줍니다. 기울기가 양수이면 직선은 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가고, 음수이면 내려가며, 기울기가 $0$이면 직선은 수평입니다.

만약 $x_2 - x_1 = 0$이면 그 직선은 수직선입니다. 이 경우 공식에서 $0$으로 나누어야 하므로 기울기는 정의되지 않습니다.

기울기의 의미

기울기는 변화율입니다. 즉, $x$가 얼마나 변할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 비교합니다.

그래서 기울기는 대수, 그래프, 데이터 표에서 자주 등장합니다. 일정한 비율로 변하는 관계라면 어디에서나 같은 아이디어를 적용할 수 있습니다.

두 점으로 기울기 구하는 법

분자와 분모에서 같은 뺄셈 순서를 사용하세요.

1. 두 점을 고릅니다.
2. $y$값을 빼서 $y$의 변화량을 구합니다.
3. 같은 순서로 $x$값을 빼서 $x$의 변화량을 구합니다.
4. 나눕니다.
5. 가능하면 간단히 합니다.

두 뺄셈 순서를 모두 뒤집으면 기울기는 그대로입니다. 하지만 하나만 뒤집으면 부호가 틀려집니다.

풀이 예제: 두 점 사이의 기울기 구하기

$(2, 3)$과 $(5, 9)$를 지나는 직선의 기울기를 구해 봅시다.

먼저 공식을 씁니다.

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

좌표를 같은 순서로 대입합니다.

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

기울기는 $2$입니다. 이는 $x$가 $1$ 증가할 때마다 $y$가 $2$ 증가한다는 뜻입니다.

이것은 rise over run으로도 읽을 수 있습니다. $(2, 3)$에서 $(5, 9)$까지 직선은 위로 $6$, 오른쪽으로 $3$만큼 가므로 기울기는 $6/3 = 2$입니다.

그래프에서 기울기 구하는 법

직선 위의 격자점 두 개를 분명하게 고르세요. 먼저 세로 변화량을 세고, 그다음 가로 변화량을 셉니다.

위로 $4$, 오른쪽으로 $2$ 이동하면 기울기는

$$\frac{4}{2} = 2$$

아래로 $3$, 오른쪽으로 $1$ 이동하면 기울기는

$$\frac{-3}{1} = -3$$

격자 교점을 사용하면 세는 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다.

표에서 기울기 구하는 법

표에서 기울기를 구할 수 있으려면 변화율이 일정해야 합니다. 두 행을 골라 다음을 계산하세요.

$$\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$$

서로 다른 행 쌍에서 같은 값이 나오면 그 관계는 선형이고, 그 일정한 값이 바로 기울기입니다.

예를 들어 $x$가 $1$에서 $3$으로 증가하는 동안 $y$가 $4$에서 $10$으로 증가하면,

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

기울기를 구할 때 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 서로 다른 순서로 빼는 것입니다. $y_2 - y_1$을 사용했다면 $x_2 - x_1$도 반드시 같은 순서로 써야 합니다.

또 다른 실수는 수직선의 기울기를 $0$이라고 하는 것입니다. 두 점의 $x$값이 같으면 분모가 $0$이므로 기울기는 정의되지 않습니다.

세 번째 실수는 아무 표나 기울기가 있다고 생각하는 것입니다. 표의 변화율이 일정할 때만 하나의 기울기를 가집니다.

기울기는 언제 쓰일까

기울기는 한 양이 다른 양에 비해 어떻게 변하는지 설명하고 싶을 때 사용합니다. 직선의 그래프를 그릴 때, 일차방정식을 쓸 때, 일정한 비율이 나오는 물리 공식에서, 그리고 선형 패턴을 따르는 데이터 표에서 볼 수 있습니다.

직접 해 보기

$(1, -2)$와 $(4, 7)$ 사이의 기울기를 구해 보세요. 먼저 간단히 하기 전에 뺄셈 과정을 쓰고, 그다음 $x$가 증가할 때 직선이 올라가는지 내려가는지 판단해 보세요.

하나 더 연습하고 싶다면 새로운 두 점을 직접 정해 보세요. 나누기 전에 분모가 0이 아닌지도 확인해 보세요.