Jak obliczyć nachylenie prostej

Aby obliczyć nachylenie prostej, podziel zmianę $y$ przez zmianę $x$. Jeśli znasz dwa punkty, użyj wzoru na nachylenie

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

o ile $x_2 \ne x_1$. To ta sama idea co „przyrost w pionie do przyrostu w poziomie”: o ile prosta idzie w górę lub w dół w porównaniu z tym, jak daleko przesuwa się w prawo.

Nachylenie mówi, jak szybko zmienia się prosta. Dodatnie nachylenie oznacza, że prosta rośnie od lewej do prawej, ujemne oznacza, że opada, a nachylenie równe $0$ oznacza, że prosta jest pozioma.

Jeśli $x_2 - x_1 = 0$, prosta jest pionowa. W takim przypadku nachylenie jest nieokreślone, ponieważ wzór wymagałby dzielenia przez $0$.

Co oznacza nachylenie prostej

Nachylenie to tempo zmian. Porównuje, jak bardzo zmienia się $y$ w stosunku do tego, jak bardzo zmienia się $x$.

Dlatego nachylenie pojawia się w algebrze, na wykresach i w tabelach danych. Ta sama idea działa wszędzie tam, gdzie zależność zmienia się ze stałą szybkością.

Jak obliczyć nachylenie prostej z dwóch punktów

Stosuj tę samą kolejność odejmowania w liczniku i mianowniku:

1. Wybierz dwa punkty.
2. Odejmij wartości $y$, aby otrzymać zmianę $y$.
3. Odejmij wartości $x$ w tej samej kolejności, aby otrzymać zmianę $x$.
4. Podziel.
5. Uprość, jeśli to możliwe.

Jeśli odwrócisz kolejność odejmowania w obu miejscach, nachylenie pozostanie takie samo. Jeśli odwrócisz kolejność tylko w jednym miejscu, znak wyniku będzie błędny.

Przykład: oblicz nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Oblicz nachylenie prostej przechodzącej przez punkty $(2, 3)$ i $(5, 9)$.

Zacznij od wzoru:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Podstaw współrzędne w tej samej kolejności:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Nachylenie wynosi $2$. Oznacza to, że za każdym razem, gdy $x$ wzrasta o $1$, $y$ wzrasta o $2$.

Możesz też odczytać to jako przyrost w pionie do przyrostu w poziomie. Od $(2, 3)$ do $(5, 9)$ prosta idzie w górę o $6$ i w prawo o $3$, więc nachylenie wynosi $6/3 = 2$.

Jak obliczyć nachylenie prostej z wykresu

Wybierz dwa wyraźne punkty siatki leżące na prostej. Najpierw policz zmianę pionową, a potem zmianę poziomą.

Jeśli przesuwasz się w górę o $4$ i w prawo o $2$, nachylenie wynosi

$$\frac{4}{2} = 2$$

Jeśli przesuwasz się w dół o $3$ i w prawo o $1$, nachylenie wynosi

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Korzystanie z punktów przecięcia siatki pomaga uniknąć błędów w liczeniu.

Jak obliczyć nachylenie prostej z tabeli

Tabela daje nachylenie tylko wtedy, gdy tempo zmian jest stałe. Wybierz dwa wiersze i oblicz

$$\frac{\text{zmiana } y}{\text{zmiana } x}$$

Jeśli otrzymasz tę samą wartość dla różnych par wierszy, zależność jest liniowa, a ta stała wartość to nachylenie.

Na przykład, jeśli $x$ wzrasta z $1$ do $3$, a $y$ wzrasta z $4$ do $10$, to

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Najczęstsze błędy przy obliczaniu nachylenia prostej

Jednym z częstych błędów jest odejmowanie w różnej kolejności. Jeśli używasz $y_2 - y_1$, musisz też użyć $x_2 - x_1$.

Innym błędem jest uznawanie, że nachylenie prostej pionowej wynosi $0$. Jeśli dwa punkty mają tę samą wartość $x$, mianownik wynosi $0$, więc nachylenie jest nieokreślone.

Trzecim błędem jest zakładanie, że każda tabela ma nachylenie. Tabela ma jedno nachylenie tylko wtedy, gdy tempo zmian pozostaje stałe.

Kiedy używa się nachylenia prostej

Nachylenia używa się zawsze wtedy, gdy chcesz opisać, jak jedna wielkość zmienia się względem drugiej. Widzisz je przy rysowaniu prostych, zapisywaniu równań liniowych, we wzorach z fizyki opisujących stałe tempo zmian oraz w tabelach danych zgodnych z liniowym wzorcem.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz nachylenie między punktami $(1, -2)$ i $(4, 7)$. Zapisz krok odejmowania przed uproszczeniem, a potem zdecyduj, czy prosta rośnie, czy opada, gdy $x$ rośnie.

Jeśli chcesz jeszcze jeden przykład, ułóż własną wersję z dwoma nowymi punktami i sprawdź, czy mianownik pozostaje różny od zera, zanim wykonasz dzielenie.