ลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือลำดับที่แต่ละพจน์ได้จากการคูณด้วยอัตราส่วนเดิมทุกครั้ง ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของพจน์ในลำดับนั้น ถ้าพจน์แรกคือ $a_1$ และอัตราส่วนร่วมคือ $r$ จะได้สูตรของลำดับเป็น $a_n = a_1r^{n-1}$ และสูตรผลบวกจำกัดเป็น $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ เมื่อ $r \ne 1$.

ตัวอย่างเช่น $3, 6, 12, 24$ เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะแต่ละพจน์หาได้จากการคูณด้วย $2$ ใช้สูตรลำดับเมื่อคุณต้องการหาพจน์ใดพจน์หนึ่ง ใช้สูตรอนุกรมเมื่อคุณต้องการหาผลรวมของหลายพจน์

อะไรทำให้ลำดับเป็นลำดับเรขาคณิต

แนวคิดสำคัญคืออัตราส่วนคงที่ ในลำดับเลขคณิต คุณบวกจำนวนเดิมทุกครั้ง แต่ในลำดับเรขาคณิต คุณคูณด้วยจำนวนเดิมทุกครั้ง

ถ้าพจน์แรกคือ $a_1$ และอัตราส่วนคือ $r$ จะได้ว่า

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

ถ้า $r$ เป็นลบ เครื่องหมายของพจน์จะสลับกัน ถ้าค่าสัมบูรณ์ของ $r$ น้อยกว่า $1$ ขนาดของพจน์จะเล็กลงเรื่อย ๆ

ลำดับเรขาคณิต vs. อนุกรมเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือรายการของพจน์ ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของพจน์เหล่านั้น

ความต่างนี้สำคัญ เพราะคำถามจะบอกว่าคุณควรคำนวณอะไร “หาพจน์ที่ห้า” คือการหาค่าของพจน์ในลำดับ แต่ “หาผลบวกของห้าพจน์แรก” คือการหาค่าของอนุกรม

ตัวอย่างทำโจทย์: หาพจน์และผลบวกจำกัด

ใช้ลำดับเรขาคณิต

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

ในที่นี้ $a_1 = 3$ และ $r = 2$

หาพจน์ที่ห้า:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

หาผลบวกของห้าพจน์แรก โดยบวกพจน์โดยตรง:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

คุณสามารถใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดได้เช่นกัน:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

สำหรับตัวอย่างนี้

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

สูตรอนุกรมเรขาคณิตใช้ได้เมื่อใด

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัด สูตร

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

ใช้ได้เมื่อ $r \ne 1$

ถ้า $r = 1$ ทุกพจน์จะมีค่าเท่ากัน ดังนั้นผลบวกก็คือ

$$S_n = na_1$$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะมีผลบวกเป็นจำนวนจำกัดก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของ $r$ น้อยกว่า $1$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. ใช้ผลต่างร่วมแทนอัตราส่วนร่วม
2. สับสนระหว่างโจทย์หาพจน์กับโจทย์หาผลบวก
3. ใช้สูตรผลบวกจำกัดเมื่อ $r = 1$ ซึ่งจะทำให้หารด้วยศูนย์
4. ลืมว่าอัตราส่วนติดลบทำให้เครื่องหมายสลับกัน

ลำดับและอนุกรมเรขาคณิตถูกใช้เมื่อใด

รูปแบบเรขาคณิตปรากฏเมื่อการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นด้วยตัวคูณคงที่ ซึ่งรวมถึงการเพิ่มเป็นสองเท่า การลดลงแบบร้อยละซ้ำ ๆ การเติบโตแบบทบต้น และแนวคิดบางอย่างของอนุกรมอนันต์ในแคลคูลัส

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองใช้ลำดับใหม่ที่มีพจน์แรกเป็น $5$ และอัตราส่วนร่วมเป็น $\frac{1}{2}$ หาสี่พจน์แรก แล้วหาผลบวกของพจน์เหล่านั้น ถ้าต้องการลองอีกกรณี ให้ใช้อัตราส่วนติดลบแล้วสังเกตว่าเครื่องหมายเปลี่ยนจากพจน์หนึ่งไปยังพจน์ถัดไปอย่างไร