等比数列与等比级数

等比数列的每一项都是由前一项乘以同一个比值得到的。等比级数则是这个数列各项的和。如果首项是 $a_1$，公比是 $r$，那么数列的通项公式是 $a_n = a_1r^{n-1}$；当 $r \ne 1$ 时，前 $n$ 项和公式是 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。

例如，$3, 6, 12, 24$ 是等比数列，因为每一项都是乘以 $2$ 得到的。想求某一项时，用数列公式；想求前几项的总和时，用级数公式。

什么样的数列是等比数列

关键在于公比保持不变。等差数列是每次加上同一个数，而等比数列是每次乘以同一个数。

如果首项是 $a_1$，公比是 $r$，那么

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

如果 $r$ 是负数，各项的正负号会交替变化。如果 $r$ 的绝对值小于 $1$，那么各项的绝对值会越来越小。

等比数列与等比级数的区别

等比数列是按顺序排列的一列数。等比级数是这些数相加得到的和。

这个区别很重要，因为题目不同，计算的内容也不同。“求第 5 项”是在求数列中的某一项；“求前 5 项和”是在求级数的和。

例题：求某一项和有限项和

使用下面这个等比数列：

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

这里，$a_1 = 3$，$r = 2$。

求第 5 项：

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

求前 5 项和，直接把各项相加：

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

也可以使用有限等比级数求和公式：

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

对于这个例子，

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

等比级数公式什么时候适用

对于有限等比级数，公式

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

在 $r \ne 1$ 时成立。

如果 $r = 1$，那么每一项都相同，所以和就是

$$S_n = na_1$$

对于无穷等比级数，只有当 $r$ 的绝对值小于 $1$ 时，才会有有限的和。

常见错误

1. 把公差当成公比来用。
2. 混淆“求某一项”和“求和”这两类问题。
3. 在 $r = 1$ 时仍使用有限项和公式，这样会出现除以零。
4. 忘记负公比会让各项符号交替变化。

等比数列和等比级数的应用

当变化按固定倍数进行时，就会出现等比规律。这包括数量翻倍、重复的百分比衰减、复合增长，以及微积分中某些无穷级数的思想。

自己试一试

试着构造一个新数列，首项为 $5$，公比为 $\frac{1}{2}$。先求前 4 项，再求它们的和。如果你想再试一种情况，可以取负公比，观察各项的符号是如何逐项变化的。