등비수열과 등비급수

등비수열은 각 단계마다 같은 비율을 곱해 가는 수열입니다. 등비급수는 그 수열의 항들을 더한 것입니다. 첫째항이 $a_1$이고 공비가 $r$이면 수열의 일반항은 $a_n = a_1r^{n-1}$이고, 유한합 공식은 $r \ne 1$일 때 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$입니다.

예를 들어 $3, 6, 12, 24$는 각 항이 이전 항에 $2$를 곱해 만들어지므로 등비수열입니다. 어떤 항 하나를 구하고 싶을 때는 수열 공식을 사용합니다. 여러 항의 합을 구하고 싶을 때는 급수 공식을 사용합니다.

수열이 등비수열이 되는 조건

핵심은 일정한 비율입니다. 등차수열에서는 매번 같은 수를 더합니다. 등비수열에서는 매번 같은 수를 곱합니다.

첫째항이 $a_1$이고 공비가 $r$이면

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

입니다.

$r$가 음수이면 부호가 번갈아 나타납니다. $r$의 절댓값이 $1$보다 작으면 항의 크기는 점점 작아집니다.

등비수열과 등비급수의 차이

등비수열은 항들의 나열입니다. 등비급수는 그 항들을 더한 합입니다.

이 차이는 무엇을 계산해야 하는지를 결정하므로 중요합니다. "다섯째항을 구하라"는 수열의 값을 묻는 것입니다. "처음 다섯 항의 합을 구하라"는 급수의 값을 묻는 것입니다.

풀이 예제: 항과 유한합 구하기

다음 등비수열을 봅시다.

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

여기서 $a_1 = 3$, $r = 2$입니다.

다섯째항을 구하면

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

입니다.

처음 다섯 항의 합은 항들을 직접 더해서 구할 수 있습니다.

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

등비급수의 유한합 공식을 사용해도 됩니다.

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

이 예에서는

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

입니다.

등비급수 공식이 성립하는 경우

유한 등비급수에서는

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

라는 공식이 $r \ne 1$일 때 성립합니다.

$r = 1$이면 모든 항이 같으므로 합은 그냥

$$S_n = na_1$$

입니다.

무한 등비급수는 $r$의 절댓값이 $1$보다 작을 때만 유한한 합을 가집니다.

자주 하는 실수

1. 공비 대신 공차를 사용하는 것.
2. 항을 구하는 문제와 합을 구하는 문제를 혼동하는 것.
3. $r = 1$일 때 유한합 공식을 사용해서 0으로 나누게 되는 것.
4. 공비가 음수이면 부호가 번갈아 바뀐다는 점을 놓치는 것.

등비수열과 등비급수가 쓰이는 경우

등비적 패턴은 변화가 일정한 배수로 일어날 때 나타납니다. 예를 들어 두 배로 증가하는 경우, 반복적인 백분율 감소, 복리 성장, 그리고 미적분의 일부 무한급수 개념이 여기에 포함됩니다.

직접 해보기

첫째항이 $5$이고 공비가 $\frac{1}{2}$인 새로운 수열을 만들어 보세요. 처음 네 항을 구한 뒤 그 합도 구해 보세요. 다른 경우를 해 보고 싶다면 공비를 음수로 두고, 항마다 부호가 어떻게 바뀌는지도 확인해 보세요.