Progressão Geométrica e Série Geométrica

Uma progressão geométrica multiplica pelo mesmo fator a cada passo. Uma série geométrica soma os termos dessa progressão. Se o primeiro termo é $a_1$ e a razão comum é $r$, então a fórmula da sequência é $a_n = a_1r^{n-1}$, e a fórmula da soma finita é $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ quando $r \ne 1$.

Por exemplo, $3, 6, 12, 24$ é uma progressão geométrica porque cada termo é obtido multiplicando por $2$. Use a fórmula da sequência quando quiser encontrar um termo. Use a fórmula da série quando quiser o total de vários termos.

O que torna uma sequência geométrica

A ideia principal é uma razão constante. Em uma progressão aritmética, você soma a mesma quantidade a cada vez. Em uma progressão geométrica, você multiplica pela mesma quantidade a cada vez.

Se o primeiro termo é $a_1$ e a razão é $r$, então

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Se $r$ for negativo, os sinais alternam. Se o valor absoluto de $r$ for menor que $1$, os termos ficam menores em módulo.

Progressão geométrica vs. série geométrica

Uma progressão geométrica é a lista de termos. Uma série geométrica é a soma desses termos.

Essa diferença importa porque a pergunta muda o que você deve calcular. "Encontre o quinto termo" pede um valor da sequência. "Encontre a soma dos cinco primeiros termos" pede um valor da série.

Exemplo resolvido: encontrar um termo e uma soma finita

Use a progressão geométrica

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Aqui, $a_1 = 3$ e $r = 2$.

Para encontrar o quinto termo:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Para encontrar a soma dos cinco primeiros termos, some os termos diretamente:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Você também pode usar a fórmula da soma finita de uma série geométrica:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Neste exemplo,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Quando a fórmula da série geométrica funciona

Para uma série geométrica finita, a fórmula

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

funciona quando $r \ne 1$.

Se $r = 1$, todos os termos são iguais, então a soma é simplesmente

$$S_n = na_1$$

Para uma série geométrica infinita, só existe soma finita quando o valor absoluto de $r$ é menor que $1$.

Erros comuns

1. Usar uma diferença comum em vez de uma razão comum.
2. Confundir uma pergunta sobre termo com uma pergunta sobre soma.
3. Usar a fórmula da soma finita quando $r = 1$, o que causaria divisão por zero.
4. Esquecer que uma razão negativa faz os sinais alternarem.

Quando progressões e séries geométricas são usadas

Padrões geométricos aparecem quando a variação acontece por um fator constante. Isso inclui duplicação, decaimento percentual repetido, crescimento composto e algumas ideias de séries infinitas no cálculo.

Tente sua própria versão

Experimente uma nova sequência com primeiro termo $5$ e razão comum $\frac{1}{2}$. Encontre os quatro primeiros termos e depois a soma deles. Se quiser outro caso, tente uma razão negativa e observe como os sinais mudam de um termo para o outro.