Suite géométrique et série géométrique

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par la même raison à chaque étape. Une série géométrique est la somme des termes de cette suite. Si le premier terme est $a_1$ et la raison est $r$, alors la formule de la suite est $a_n = a_1r^{n-1}$, et la formule de la somme finie est $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ lorsque $r \ne 1$.

Par exemple, $3, 6, 12, 24$ est une suite géométrique, car chaque terme s'obtient en multipliant par $2$. Utilisez la formule de la suite lorsque vous cherchez un terme. Utilisez la formule de la série lorsque vous cherchez la somme de plusieurs termes.

Ce qui rend une suite géométrique

L'idée essentielle est celle d'une raison constante. Dans une suite arithmétique, on ajoute la même quantité à chaque fois. Dans une suite géométrique, on multiplie par la même quantité à chaque fois.

Si le premier terme est $a_1$ et la raison est $r$, alors

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Si $r$ est négatif, les signes alternent. Si la valeur absolue de $r$ est inférieure à $1$, la taille des termes diminue.

Suite géométrique vs série géométrique

Une suite géométrique est la liste des termes. Une série géométrique est la somme de ces termes.

Cette différence est importante, car la question change ce qu'il faut calculer. « Trouver le cinquième terme » demande une valeur de la suite. « Trouver la somme des cinq premiers termes » demande une valeur de série.

Exemple détaillé : trouver un terme et une somme finie

Considérons la suite géométrique

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Ici, $a_1 = 3$ et $r = 2$.

Pour trouver le cinquième terme :

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Pour trouver la somme des cinq premiers termes, additionnez directement les termes :

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Vous pouvez aussi utiliser la formule de la série géométrique finie :

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Pour cet exemple,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Quand la formule de la série géométrique fonctionne

Pour une série géométrique finie, la formule

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

fonctionne lorsque $r \ne 1$.

Si $r = 1$, tous les termes sont identiques, donc la somme est simplement

$$S_n = na_1$$

Pour une série géométrique infinie, il n'existe une somme finie que lorsque la valeur absolue de $r$ est inférieure à $1$.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser une différence constante au lieu d'une raison constante.
2. Confondre une question sur un terme avec une question sur une somme.
3. Utiliser la formule de la somme finie lorsque $r = 1$, ce qui entraînerait une division par zéro.
4. Oublier qu'une raison négative fait alterner les signes.

Quand on utilise les suites et séries géométriques

Les motifs géométriques apparaissent lorsque l'évolution se fait par un facteur constant. Cela inclut le doublement, une décroissance en pourcentage répétée, une croissance composée et certaines idées de séries infinies en calcul.

Essayez votre propre version

Essayez une nouvelle suite dont le premier terme est $5$ et la raison $\frac{1}{2}$. Trouvez les quatre premiers termes, puis calculez leur somme. Si vous voulez un autre cas, essayez une raison négative et observez comment les signes changent d'un terme à l'autre.