ลำดับและอนุกรม — AP, GP, HP และการลู่เข้า

ลำดับคือรายการของจำนวนที่เรียงตามลำดับ ส่วนอนุกรมคือสิ่งที่ได้เมื่อเรานำพจน์จากลำดับนั้นมาบวกกัน ในหัวข้อนี้ AP หมายถึงลำดับเลขคณิต, GP หมายถึงลำดับเรขาคณิต, HP หมายถึงลำดับฮาร์มอนิก และการลู่เข้าคือการถามว่าพจน์หรือผลบวกย่อยเข้าใกล้ค่าจำกัดค่าหนึ่งหรือไม่

ถ้าต้องการเวอร์ชันสั้น: AP มีผลต่างคงที่, GP มีอัตราส่วนคงที่, และ HP คือลำดับที่ส่วนกลับของมันเป็น AP สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ผลบวกจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $|r| < 1$

ลำดับกับอนุกรม: ต้องรู้ว่ากำลังตอบคำถามแบบไหน

ถ้าคุณเขียนรายการ

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

นี่คือลำดับ แต่ถ้าคุณเขียนผลบวก

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

นี่คืออนุกรม

ความต่างนี้บอกว่าควรใช้เครื่องมือแบบไหน “หาพจน์ที่ $n$” เป็นคำถามของลำดับ ส่วน “หาผลบวกของ $n$ พจน์แรก” เป็นคำถามของอนุกรม

AP, GP และ HP: วิธีสังเกตรูปแบบแต่ละแบบ

ลำดับเลขคณิต (AP)

AP เปลี่ยนไปทีละจำนวนเท่ากันในทุกขั้น ถ้าพจน์แรกคือ $a$ และผลต่างร่วมคือ $d$ จะได้ว่า

$$a_n = a + (n-1)d$$

และผลบวกของ $n$ พจน์แรกคือ

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

หรือเขียนได้เท่ากันว่า

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

ตัวอย่าง: $4, 7, 10, 13, \dots$ เป็น AP เพราะแต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ $3$

ลำดับเรขาคณิต (GP)

GP เปลี่ยนไปด้วยการคูณด้วยตัวคงที่เดิมในทุกขั้น ถ้าพจน์แรกคือ $a$ และอัตราส่วนร่วมคือ $r$ จะได้ว่า

$$a_n = ar^{n-1}$$

และเมื่อ $r \ne 1$,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ผลบวกจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $|r| < 1$ ในกรณีนั้น

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

ตัวอย่าง: $3, 6, 12, 24, \dots$ เป็น GP เพราะแต่ละพจน์คูณด้วย $2$

ลำดับฮาร์มอนิก (HP)

HP นิยามผ่านส่วนกลับ ลำดับที่ไม่เป็นศูนย์ $a_1, a_2, a_3, \dots$ จะเป็น HP ถ้า

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

เป็น AP

ดังนั้นถ้า

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ จะได้ว่า

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

ตัวอย่าง: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ เป็น HP เพราะส่วนกลับของมันคือ $2, 4, 6, 8, \dots$ ซึ่งเป็น AP

HP มักใช้เป็นแนวคิดสำหรับการจัดประเภทในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน ต่างจาก AP และ GP ตรงที่มันไม่มีสูตรผลบวกมาตรฐานเบื้องต้นเพียงสูตรเดียวที่ใช้ในโจทย์พื้นฐานส่วนใหญ่

การลู่เข้า: เมื่อกระบวนการอนันต์มีขีดจำกัดเป็นจำนวนจำกัด

ลำดับลู่เข้า ถ้าพจน์ของมันเข้าใกล้ขีดจำกัดค่าคงที่ค่าหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{as } n \to \infty$$

ดังนั้นลำดับ $\left(\frac{1}{n}\right)$ จึงลู่เข้าไปที่ $0$

อนุกรมลู่เข้า ถ้าผลบวกย่อยของมันเข้าใกล้ขีดจำกัดค่าคงที่ค่าหนึ่ง ถ้า

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

และจำนวน $S_n$ เข้าใกล้ค่าจำกัดบางค่า $S$ อนุกรมอนันต์นั้นก็ลู่เข้าไปที่ $S$

นี่คือจุดที่นักเรียนหลายคนมักพลาด: ลำดับที่ลู่เข้า ไม่ได้แปลว่าอนุกรมที่สร้างจากมันจะลู่เข้าตามไปด้วยโดยอัตโนมัติ การที่พจน์เข้าใกล้ $0$ เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม แต่เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวยังไม่พอ

ตัวอย่างเช่น ลำดับฮาร์มอนิก

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

ลู่เข้าไปที่ $0$ ในฐานะลำดับของพจน์ แต่อนุกรมฮาร์มอนิก

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

ไม่ลู่เข้าไปสู่ผลบวกจำกัด

ตัวอย่างทำโจทย์: ตรวจ GP และหาผลบวกของอนุกรมอนันต์

พิจารณาอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

ซึ่งมาจาก GP

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

ที่นี่พจน์แรกคือ $a = 6$ และอัตราส่วนร่วมคือ

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

เพราะ $|r| = \frac{1}{2} < 1$ อนุกรมอนันต์นี้จึงลู่เข้า และมีผลบวกเป็น

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

ขั้นสำคัญคือการตรวจเงื่อนไขก่อนใช้สูตร ถ้า $|r| < 1$ อนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้า แต่ถ้า $|r| \ge 1$ มันจะไม่ลู่เข้าไปสู่ผลบวกจำกัด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับลำดับ อนุกรม และการลู่เข้า

สับสนระหว่างพจน์กับผลบวก

พจน์ $a_5$ และผลบวก $S_5$ ไม่ใช่คำตอบชนิดเดียวกัน อันหนึ่งคือพจน์ในรายการ อีกอันคือผลรวม

ใช้การทดสอบผลต่างกับ GP

ถ้ารูปแบบคือคูณด้วย $2$ มันเป็นลำดับเรขาคณิต แม้ว่าตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอก็ตาม การมีผลต่างคงที่กับอัตราส่วนคงที่เป็นคนละการทดสอบกัน

ลืมเงื่อนไขการลู่เข้าสำหรับ GP อนันต์

สูตร

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $|r| < 1$ เท่านั้น

คิดว่า “พจน์เข้าใกล้ศูนย์” ก็พอแล้ว

สำหรับอนุกรม นี่เป็นเพียงการตรวจขั้นแรกเท่านั้น อนุกรมฮาร์มอนิกคือตัวอย่างโต้แย้งมาตรฐาน

มองว่า HP คือ “อะไรก็ได้ที่เป็นเศษส่วน”

HP ไม่ใช่แค่ลำดับของเศษส่วน ส่วนกลับของมันต้องเป็น AP

AP, GP, HP และการลู่เข้า ใช้ที่ไหนบ้าง

AP ใช้จำลองการเปลี่ยนแปลงแบบบวกเพิ่มคงที่ เช่น การออมเงินจำนวนเท่ากันทุกเดือน GP ใช้จำลองการคูณซ้ำ เช่น การเติบโตแบบทบต้นหรือการลดลงซ้ำ ๆ ส่วน HP พบในพีชคณิตระดับโรงเรียนและในโจทย์ที่ความสัมพันธ์แบบส่วนกลับเป็นรูปแบบตามธรรมชาติ

การลู่เข้ามีความสำคัญทุกครั้งที่กระบวนการเป็นอนันต์หรือยาวมาก มันปรากฏในอนุกรมอนันต์ วิธีประมาณค่า การเงิน และหัวข้อขั้นต่อไป เช่น อนุกรมกำลังและแคลคูลัส

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

พิจารณา GP

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

จงหาอัตราส่วนร่วม แล้วตัดสินว่าอนุกรมอนันต์ $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ ลู่เข้าหรือไม่ หลังจากนั้นลองเปรียบเทียบกับ AP $8, 4, 0, -4, \dots$ เพื่อดูว่าการทดสอบแบบ “ผลต่าง vs. อัตราส่วน” ช่วยแยกรูปแบบทั้งสองได้เร็วแค่ไหน

ถ้าต้องการก้าวต่อไป ลองสร้างโจทย์ของตัวเองโดยเปลี่ยนพจน์แรกและอัตราส่วนร่วม แล้วตรวจเงื่อนไขการลู่เข้าก่อนคำนวณผลบวกอนันต์ทุกครั้ง