Successione geometrica e serie geometrica

Una successione geometrica si ottiene moltiplicando ogni termine per la stessa ragione a ogni passaggio. Una serie geometrica è la somma dei termini di quella successione. Se il primo termine è $a_1$ e la ragione comune è $r$, allora la formula della successione è $a_n = a_1r^{n-1}$, e la formula della somma finita è $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ quando $r \ne 1$.

Per esempio, $3, 6, 12, 24$ è una successione geometrica perché ogni termine si ottiene moltiplicando per $2$. Usa la formula della successione quando vuoi trovare un termine. Usa la formula della serie quando vuoi trovare il totale di più termini.

Cosa rende geometrica una successione

L'idea chiave è una ragione costante. In una successione aritmetica, si aggiunge sempre la stessa quantità. In una successione geometrica, si moltiplica sempre per la stessa quantità.

Se il primo termine è $a_1$ e la ragione è $r$, allora

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Se $r$ è negativo, i segni si alternano. Se il valore assoluto di $r$ è minore di $1$, i termini diventano più piccoli in valore assoluto.

Successione geometrica vs. serie geometrica

Una successione geometrica è l'elenco dei termini. Una serie geometrica è la somma di quei termini.

Questa differenza è importante perché cambia ciò che devi calcolare. "Trova il quinto termine" richiede un valore della successione. "Trova la somma dei primi cinque termini" richiede un valore della serie.

Esempio svolto: trovare un termine e una somma finita

Usa la successione geometrica

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Qui, $a_1 = 3$ e $r = 2$.

Per trovare il quinto termine:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Per trovare la somma dei primi cinque termini, somma direttamente i termini:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Puoi anche usare la formula della serie geometrica finita:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Per questo esempio,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Quando funziona la formula della serie geometrica

Per una serie geometrica finita, la formula

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

funziona quando $r \ne 1$.

Se $r = 1$, ogni termine è uguale, quindi la somma è semplicemente

$$S_n = na_1$$

Per una serie geometrica infinita, esiste una somma finita solo quando il valore assoluto di $r$ è minore di $1$.

Errori comuni

1. Usare una differenza comune invece di una ragione comune.
2. Confondere una domanda su un termine con una domanda sulla somma.
3. Usare la formula della somma finita quando $r = 1$, il che porterebbe a dividere per zero.
4. Dimenticare che una ragione negativa fa alternare i segni.

Quando si usano successioni e serie geometriche

I modelli geometrici compaiono quando una variazione avviene secondo un fattore costante. Questo include il raddoppio, il decadimento percentuale ripetuto, la crescita composta e alcune idee sulle serie infinite nel calcolo.

Prova una tua versione

Prova una nuova successione con primo termine $5$ e ragione comune $\frac{1}{2}$. Trova i primi quattro termini, poi calcolane la somma. Se vuoi un altro caso, prova una ragione negativa e controlla come cambiano i segni da un termine all'altro.