สรุปสูตรลำดับ

สูตรลำดับคือสมการที่ช่วยให้เราหาพจน์ที่ $n$ หรือผลรวมของ $n$ พจน์แรกของลำดับที่มีรูปแบบแน่นอนได้อย่างรวดเร็ว ในข้อสอบมักจะถามถึงสูตรลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต ดังนั้น สิ่งแรกที่ต้องทำคือแยกให้ได้ว่า "ผลต่างคงที่หรือไม่" หรือ "อัตราส่วนคงที่หรือไม่"

นี่คือ 4 สูตรหลักที่นำไปใช้ได้ทันทีครับ

สรุปสูตรลำดับในภาพเดียว

สำหรับลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมคือ $d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

สำหรับลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมคือ $r$

$a_n = a_1 r^{n-1}$

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \quad \text{if } r \ne 1$

และถ้า $r = 1$ ทุกพจน์จะมีค่าเป็น $a_1$ ดังนั้น

$S_n = na_1$

โดยที่ $a_n$ คือพจน์ที่ $n$ และ $S_n$ คือผลรวมตั้งแต่พจน์แรกจนถึงพจน์ที่ $n$ คุณต้องตรวจสอบให้ดีว่าโจทย์ต้องการให้หาอะไร เพื่อป้องกันการใช้สูตรสลับกันครับ

วิธีแยกสูตรลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่ผลต่างของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น $3, 7, 11, 15, \dots$ จะเพิ่มขึ้นครั้งละ $4$ เสมอ ดังนั้นผลต่างร่วมคือ $d=4$

ลำดับเรขาคณิต คือลำดับที่อัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น $2, 6, 18, 54, \dots$ จะเพิ่มขึ้นเป็น $3$ เท่าในทุกๆ พจน์ ดังนั้นอัตราส่วนร่วมคือ $r=3$

การแยกประเภทนี้สำคัญที่สุดครับ ถ้าผลต่างคงที่แต่ไปใช้สูตรลำดับเรขาคณิต หรืออัตราส่วนคงที่แต่ไปใช้สูตรลำดับเลขคณิต การคำนวณหลังจากนั้นจะผิดทั้งหมดทันที

ทำความเข้าใจที่มาของสูตรแบบเห็นภาพ

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต $a_n = a_1 + (n-1)d$ คือผลลัพธ์จากการนำผลต่างร่วมมาบวกเข้ากับพจน์แรกจำนวน $n-1$ ครั้ง ให้มองว่าทุกครั้งที่ขยับไปหนึ่งตำแหน่ง จะมีการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากันเสมอ

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต $a_n = a_1r^{n-1}$ คือผลลัพธ์จากการนำอัตราส่วนร่วมมาคูณกับพจน์แรกจำนวน $n-1$ ครั้ง เป็นโครงสร้างที่ค่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามอัตราส่วนที่เท่ากันในทุกๆ ตำแหน่ง

ดังนั้น ลำดับเลขคณิตจะเปลี่ยนแปลงเป็นช่วงที่คงที่ ส่วนลำดับเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลงจะเป็นแบบสะสม อย่างไรก็ตาม ในลำดับเรขาคณิตถ้าอัตราส่วนร่วมคือ $0 < r < 1$ ค่าของพจน์จะค่อยๆ ลดลงครับ

ตัวอย่างสูตรลำดับ: การหาพจน์ทั่วไปและผลรวมพร้อมกัน

ลองพิจารณาลำดับ $5, 8, 11, 14, \dots$

เนื่องจากผลต่างเป็น $3$ เสมอ จึงเป็นลำดับเลขคณิต โดยมีพจน์แรกคือ $a_1=5$ และผลต่างร่วมคือ $d=3$

การหาพจน์ที่ 10

เมื่อใช้สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

$a_n = a_1 + (n-1)d$

ดังนั้น

$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

นั่นคือ พจน์ที่ 10 คือ $32$

การหาผลรวม 10 พจน์แรก

ใช้สูตรผลรวม

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

แทนค่า $n=10$, $a_1=5$, $a_{10}=32$ ลงไปจะได้

$S_{10} = \frac{10}{2}(5+32) = 5 \cdot 37 = 185$

หัวใจสำคัญของตัวอย่างนี้คือการแยกสัญลักษณ์ครับ $a_{10}$ คือพจน์เดียว แต่ $S_{10}$ คือค่าที่นำ 10 พจน์แรกมาบวกกันทั้งหมด คุณต้องอ่านโจทย์ให้ดีว่าต้องการ "พจน์ที่ 10" หรือ "ผลรวม 10 พจน์แรก"

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในเรื่องสูตรลำดับ

การใช้สูตรพจน์ทั่วไปสลับกับสูตรผลรวม

หลายคนต้องหา $a_n$ แต่ดันไปใช้สูตร $S_n$ หรือในทางกลับกัน ต้องหาผลรวมแต่คำนวณแค่พจน์ทั่วไปแล้วจบ ต้องเช็กให้ชัวร์ว่าโจทย์ถาม "พจน์ที่เท่าไหร่" หรือ "ผลรวมกี่พจน์"

การมองเป็นผลต่างทั้งที่เป็นลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น $2, 4, 8, 16, \dots$ ผลต่างไม่คงที่ ดังนั้นจึงไม่ใช่ลำดับเลขคณิต ลำดับแบบนี้ต้องพิจารณาที่อัตราส่วนแทนครับ

การลืมเงื่อนไขในสูตรผลรวมลำดับเรขาคณิต

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

จะใช้ได้ทันทีก็ต่อเมื่อ $r \ne 1$ เท่านั้น หาก $r=1$ ตัวส่วนจะเป็น $0$ ซึ่งต้องจัดการแยกต่างหาก

การลืม $n-1$

ในสูตรพจน์ทั่วไป $a_n$ คือสถานะที่ยังไม่มีการเคลื่อนที่จากพจน์แรก ซึ่งต้องเป็น $n=1$ ดังนั้นทั้งลำดับเลขคณิตและเรขาคณิตจึงต้องมี $n-1$ อยู่ในสูตร

สูตรลำดับใช้ตอนไหนบ้าง

สูตรลำดับไม่เพียงแต่ใช้ในข้อสอบ แต่ยังใช้บ่อยในสถานการณ์ที่มีการเพิ่มขึ้นหรืออัตราการซ้ำที่คงที่ เช่น เงินออมที่เพิ่มขึ้นในแต่ละเดือนอย่างคงที่ สามารถมองได้ว่าเป็นลำดับเลขคณิต หรือปรากฏการณ์ที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วนที่แน่นอน ก็สามารถสร้างแบบจำลองด้วยลำดับเรขาคณิตได้

อย่างไรก็ตาม ต้องตรวจสอบเงื่อนไขว่าสถานการณ์จริงเป็นลำดับเลขคณิตหรือเรขาคณิตที่แม่นยำหรือไม่ สูตรจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อรูปแบบของข้อมูลถูกต้องเท่านั้นครับ

ขั้นตอนการแก้โจทย์ลำดับ

ปกติแล้วสามารถแก้โจทย์ลำดับได้ตามลำดับขั้นตอนนี้ครับ

1. ตรวจสอบว่าผลต่างคงที่ หรืออัตราส่วนคงที่
2. ตรวจสอบว่าค่าที่ต้องการหาคือ $a_n$ หรือ $S_n$
3. ถ้าเป็นลำดับเลขคณิต ให้หา $d$ ถ้าเป็นลำดับเรขาคณิต ให้หา $r$
4. แทนค่าลงในสูตรที่ตรงกับเงื่อนไข

แบบฝึกหัดแนะนำสำหรับขั้นต่อไป

ลองหา $a_{20}$ และ $S_{20}$ จากลำดับตัวอย่าง $5, 8, 11, 14, \dots$ ด้วยตัวเองดูครับ จากนั้นลองใช้คำถามเดียวกันนี้กับลำดับเรขาคณิต $3, 6, 12, 24, \dots$ จะทำให้เห็นภาพชัดเจนขึ้นว่าสูตรพจน์ทั่วไปและสูตรผลรวมแตกต่างกันอย่างไรเมื่อไหร่