等比数列と等比級数

等比数列は、各項が前の項に同じ比をかけてできる数列です。等比級数は、その数列の項を足し合わせたものです。初項を $a_1$、公比を $r$ とすると、数列の一般項は $a_n = a_1r^{n-1}$、有限和の公式は $r \ne 1$ のとき $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ です。

たとえば、$3, 6, 12, 24$ は各項が $2$ 倍になっているので等比数列です。ある項を求めたいときは数列の公式を使います。いくつかの項の合計を求めたいときは級数の公式を使います。

数列が等比数列になる条件

大事な考え方は、公比が一定であることです。等差数列では毎回同じ数を足します。等比数列では毎回同じ数をかけます。

初項が $a_1$、公比が $r$ なら、

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

となります。

$r$ が負のときは、項の符号が交互に変わります。$r$ の絶対値が $1$ より小さいときは、項の大きさはだんだん小さくなります。

等比数列と等比級数の違い

等比数列は項を並べたものです。等比級数はそれらの項の和です。

この違いは大切です。なぜなら、問題によって何を計算するべきかが変わるからです。「第5項を求めよ」は数列の値を求める問題です。「最初の5項の和を求めよ」は級数の値を求める問題です。

例題：ある項と有限和を求める

次の等比数列を使います。

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

ここでは、$a_1 = 3$、$r = 2$ です。

第5項を求めると、

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

となります。

最初の5項の和を求めるには、直接足してもよいです。

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

有限等比級数の公式を使っても求められます。

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

この例では、

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

となります。

等比級数の公式が使えるとき

有限等比級数では、

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

という公式は $r \ne 1$ のときに使えます。

$r = 1$ のときは、すべての項が同じなので、和は単に

$$S_n = na_1$$

です。

無限等比級数では、$r$ の絶対値が $1$ より小さいときにだけ有限の和をもちます。

よくある間違い

1. 公差を使ってしまい、公比を見ていない。
2. 項を求める問題と和を求める問題を混同する。
3. $r = 1$ のときに有限和の公式を使ってしまい、0 で割る形になる。
4. 公比が負だと符号が交互に変わることを忘れる。

等比数列と等比級数が使われる場面

等比的なパターンは、変化が一定の割合で起こるときに現れます。たとえば、倍増、一定割合での減少、複利的な増加、そして微積分に出てくるいくつかの無限級数の考え方などです。

自分でもやってみよう

初項 $5$、公比 $\frac{1}{2}$ の新しい数列で試してみましょう。最初の4項を求め、その和も求めてみてください。別の例として、公比を負にして、項ごとに符号がどう変わるかを確かめるのもよいでしょう。