Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri dikalikan dengan rasio yang sama di setiap langkah. Deret geometri menjumlahkan suku-suku dari barisan tersebut. Jika suku pertama adalah $a_1$ dan rasio tetapnya adalah $r$, maka rumus barisannya adalah $a_n = a_1r^{n-1}$, dan rumus jumlah hingga adalah $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ saat $r \ne 1$.

Sebagai contoh, $3, 6, 12, 24$ adalah barisan geometri karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan $2$. Gunakan rumus barisan saat Anda ingin mencari suatu suku. Gunakan rumus deret saat Anda ingin mencari jumlah beberapa suku.

Apa yang membuat suatu barisan menjadi geometri

Gagasan utamanya adalah rasio yang konstan. Dalam barisan aritmetika, Anda menambahkan jumlah yang sama setiap kali. Dalam barisan geometri, Anda mengalikan dengan nilai yang sama setiap kali.

Jika suku pertama adalah $a_1$ dan rasionya adalah $r$, maka

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Jika $r$ bernilai negatif, tandanya akan berganti-ganti. Jika nilai mutlak $r$ kurang dari $1$, besar suku-sukunya akan semakin kecil.

Barisan geometri vs. deret geometri

Barisan geometri adalah daftar suku-suku. Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku tersebut.

Perbedaan ini penting karena pertanyaannya menentukan apa yang harus Anda hitung. "Cari suku kelima" meminta nilai suatu suku pada barisan. "Cari jumlah lima suku pertama" meminta nilai deret.

Contoh Soal: Mencari Suku dan Jumlah Hingga

Gunakan barisan geometri

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Di sini, $a_1 = 3$ dan $r = 2$.

Untuk mencari suku kelima:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Untuk mencari jumlah lima suku pertama, jumlahkan suku-sukunya secara langsung:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Anda juga dapat menggunakan rumus deret geometri hingga:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Untuk contoh ini,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Kapan Rumus Deret Geometri Berlaku

Untuk deret geometri hingga, rumus

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

berlaku saat $r \ne 1$.

Jika $r = 1$, setiap suku bernilai sama, sehingga jumlahnya adalah

$$S_n = na_1$$

Untuk deret geometri tak hingga, hanya ada jumlah yang berhingga jika nilai mutlak $r$ kurang dari $1$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

1. Menggunakan beda tetap, bukan rasio tetap.
2. Tertukar antara pertanyaan tentang suku dan pertanyaan tentang jumlah.
3. Menggunakan rumus jumlah hingga saat $r = 1$, yang akan menyebabkan pembagian dengan nol.
4. Lupa bahwa rasio negatif membuat tanda suku berganti-ganti.

Kapan Barisan dan Deret Geometri Digunakan

Pola geometri muncul ketika perubahan terjadi dengan faktor yang tetap. Ini mencakup pelipatan dua, peluruhan persentase berulang, pertumbuhan majemuk, dan beberapa gagasan deret tak hingga dalam kalkulus.

Coba Versi Anda Sendiri

Coba barisan baru dengan suku pertama $5$ dan rasio tetap $\frac{1}{2}$. Carilah empat suku pertamanya, lalu hitung jumlahnya. Jika Anda ingin contoh lain, coba rasio negatif dan periksa bagaimana tandanya berubah dari satu suku ke suku berikutnya.