Sucesión geométrica y serie geométrica

Una sucesión geométrica multiplica por la misma razón en cada paso. Una serie geométrica suma los términos de esa sucesión. Si el primer término es $a_1$ y la razón común es $r$, entonces la fórmula de la sucesión es $a_n = a_1r^{n-1}$, y la fórmula de la suma finita es $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ cuando $r \ne 1$.

Por ejemplo, $3, 6, 12, 24$ es geométrica porque cada término se obtiene multiplicando por $2$. Usa la fórmula de la sucesión cuando quieras encontrar un término. Usa la fórmula de la serie cuando quieras hallar el total de varios términos.

Qué hace que una sucesión sea geométrica

La idea clave es una razón constante. En una sucesión aritmética, sumas la misma cantidad cada vez. En una sucesión geométrica, multiplicas por la misma cantidad cada vez.

Si el primer término es $a_1$ y la razón es $r$, entonces

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Si $r$ es negativa, los signos se alternan. Si el valor absoluto de $r$ es menor que $1$, los términos se hacen más pequeños en magnitud.

Sucesión geométrica vs. serie geométrica

Una sucesión geométrica es la lista de términos. Una serie geométrica es la suma de esos términos.

Esa diferencia importa porque la pregunta cambia lo que debes calcular. "Halla el quinto término" pide un valor de la sucesión. "Halla la suma de los primeros cinco términos" pide un valor de la serie.

Ejemplo resuelto: hallar un término y una suma finita

Usa la sucesión geométrica

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Aquí, $a_1 = 3$ y $r = 2$.

Para hallar el quinto término:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Para hallar la suma de los primeros cinco términos, suma los términos directamente:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

También puedes usar la fórmula de la serie geométrica finita:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Para este ejemplo,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Cuándo funciona la fórmula de la serie geométrica

Para una serie geométrica finita, la fórmula

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

funciona cuando $r \ne 1$.

Si $r = 1$, todos los términos son iguales, así que la suma es simplemente

$$S_n = na_1$$

Para una serie geométrica infinita, solo hay una suma finita cuando el valor absoluto de $r$ es menor que $1$.

Errores comunes

1. Usar una diferencia común en lugar de una razón común.
2. Confundir una pregunta sobre un término con una pregunta sobre una suma.
3. Usar la fórmula de la suma finita cuando $r = 1$, lo que dividiría entre cero.
4. Olvidar que una razón negativa hace que los signos se alternen.

Cuándo se usan las sucesiones y series geométricas

Los patrones geométricos aparecen cuando el cambio ocurre por un factor constante. Eso incluye duplicación, disminución porcentual repetida, crecimiento compuesto y algunas ideas de series infinitas en cálculo.

Prueba tu propia versión

Prueba una nueva sucesión con primer término $5$ y razón común $\frac{1}{2}$. Halla los primeros cuatro términos y luego encuentra su suma. Si quieres otro caso, prueba una razón negativa y observa cómo cambian los signos de un término a otro.