สูตรการหาผลรวมของลำดับ

สูตรการหาผลรวมของลำดับที่ใช้บ่อยที่สุดมีเพียง 2 ประเภท คือ ผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต และผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต เวลาทำโจทย์อย่าเพิ่งรีบแทนค่าในสูตร ให้พิจารณารูปแบบของลำดับก่อน ถ้าผลต่างของสองพจน์ที่ติดกันมีค่าคงที่ ให้ใช้การหาผลรวมแบบเลขคณิต แต่ถ้าอัตราส่วนของสองพจน์ที่ติดกันมีค่าคงที่ ให้ใช้การหาผลรวมแบบเรขาคณิต

เริ่มต้นด้วย 2 สูตรนี้

ผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต คือ:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

หากทราบค่าผลต่างร่วม $d$ สามารถเขียนได้เป็น:

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

ส่วนผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต เมื่อ $q \ne 1$ คือ:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

โดยที่ $a_1$ คือพจน์แรก, $a_n$ คือพจน์ที่ $n$, และ $q$ คืออัตราส่วนร่วม นอกจากนี้ สูตรลำดับเรขาคณิตมักเขียนได้อีกแบบว่า

$S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}$

ซึ่งทั้งสองรูปแบบนี้มีค่าเท่ากัน เพียงแค่เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งตัวเศษและตัวส่วนพร้อมกัน

ตัดสินประเภทลำดับก่อน แล้วค่อยหาผลรวม

เมื่อเห็นชุดตัวเลข ให้สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ที่ติดกันก่อน เช่น $3, 7, 11, 15$ มีการบวกเพิ่มครั้งละ $4$ เสมอ ดังนั้นจึงเป็นลำดับเลขคณิต หรือเช่น $2, 6, 18, 54$ มีการคูณด้วย $3$ เสมอ ดังนั้นจึงเป็นลำดับเรขาคณิต

ขั้นตอนนี้สำคัญกว่าการท่องจำสูตร เพราะหากตัดสินประเภทลำดับผิด การคำนวณหาผลรวมในขั้นตอนต่อๆ ไปจะผิดเพี้ยนไปทั้งหมด

ทำไมสูตรผลรวมเลขคณิตถึงดูสมเหตุสมผล

ลำดับเลขคณิตใช้งานง่ายเพราะเมื่อเราจับคู่พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย ผลรวมของแต่ละคู่จะมีค่าเท่ากันเสมอ สมมติให้ชุดตัวเลขเรียงจากหน้าไปหลังคือ

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n$

และเรียงย้อนกลับจากหลังมาหน้าคือ

$a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1$

เมื่อนำตำแหน่งที่ตรงกันมาบวกกัน แต่ละคู่จะมีค่าเป็น $a_1 + a_n$ ดังนั้น สองเท่าของผลรวมคือ

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

ส่งผลให้

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

นี่คือที่มาที่เห็นภาพชัดเจนที่สุดของสูตรผลรวมลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างโจทย์: หาจำนวนพจน์ก่อน แล้วจึงหาผลรวม $n$ พจน์แรก

จงหาผลรวมของลำดับเลขคณิต $5, 8, 11, \dots, 32$

ขั้นแรก พิจารณาประเภทของลำดับ พจน์ที่ติดกันเพิ่มขึ้นทีละ $3$ ดังนั้นนี่คือลำดับเลขคณิต

ค่าที่ทราบแล้วคือ:

• พจน์แรก $a_1 = 5$
• พจน์สุดท้าย $a_n = 32$
• ผลต่างร่วม $d = 3$

จุดที่มักจะพลาดบ่อยที่สุดคือ โจทย์ให้พจน์สุดท้าย $32$ มา แต่ไม่ได้ให้จำนวนพจน์ $n$ มาโดยตรง ดังนั้นเราต้องใช้สูตรพจน์ทั่วไปเพื่อหา $n$ ก่อน:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

แทนค่าจะได้

$32 = 5 + (n-1)\cdot 3$

$27 = 3(n-1)$

$n-1 = 9$

$n = 10$

คราวนี้จึงแทนค่าในสูตรผลรวม:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}$

$S_{10} = 5 \cdot 37 = 185$

ดังนั้น ผลรวมของชุดตัวเลขนี้คือ $185$

หัวใจสำคัญของตัวอย่างนี้ไม่ใช่การแทนค่าในสูตร แต่คือการสังเกตว่า $n$ ยังไม่ได้ถูกกำหนดให้ จึงจำเป็นต้องหาค่านี้ออกมาก่อน

เมื่อไหร่ควรใช้ผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต

ถ้าแต่ละพจน์เกิดจากการนำพจน์ก่อนหน้ามาคูณด้วยตัวเลขเดิมซ้ำๆ ให้พิจารณาลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น ลำดับ

$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$

มีพจน์แรกคือ $2$ และอัตราส่วนร่วมคือ $2$ ดังนั้น ผลรวม $5$ พจน์แรกคือ

$S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62$

เราสามารถตรวจสอบได้ด้วยการบวกกันโดยตรง:

$2+4+8+16+32 = 62$

หาก $q = 1$ ตัวส่วนจะกลายเป็น $0$ ซึ่งในกรณีนี้จะไม่สามารถแทนค่าในสูตรผลรวมเรขาคณิตได้โดยตรง เนื่องจากทุกพจน์มีค่าเท่ากันหมด ดังนั้น ผลรวม $n$ พจน์แรกจึงเขียนได้ง่ายๆ ว่า

$S_n = na_1$

จุดที่มักเกิดข้อผิดพลาดบ่อยที่สุด

สับสนระหว่าง "พจน์สุดท้าย" กับ "จำนวนพจน์"

คำว่า "หาผลรวมจนถึง $32$" หมายความว่าพจน์สุดท้ายคือ $32$ ไม่ได้หมายความว่ามีทั้งหมด $32$ พจน์ เช่นเดียวกับตัวอย่างข้างต้น เราต้องหา $n$ ผ่านความสัมพันธ์ของพจน์ทั่วไปก่อน

ดูแค่ขนาดตัวเลข แต่ไม่ดูรูปแบบ

ลำดับบางชุดที่ "เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว" มักถูกตัดสินผิดว่าเป็นลำดับเรขาคณิต หรือบางคนรีบสรุปผลโดยดูเพียงแค่สองพจน์แรก วิธีที่ชัวร์กว่าคือการเปรียบเทียบผลต่างของพจน์ที่ติดกัน หรือเปรียบเทียบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน

ลืมตรวจสอบเงื่อนไขของสูตรเรขาคณิต

สูตร

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

จะใช้ได้โดยตรงก็ต่อเมื่อ $q \ne 1$ เท่านั้น หาก $q = 1$ ควรเปลี่ยนไปใช้ $S_n = na_1$ แทน

การหาผลรวมของลำดับนำไปใช้ที่ไหนบ้าง

การหาผลรวมของลำดับพบได้บ่อยในโจทย์พีชคณิตระดับมัธยม, การฝึกพื้นฐานก่อนเริ่มเรื่องอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction), รวมถึงโมเดลการผ่อนชำระและดอกเบี้ยทบต้นในทางด้านการเงิน ตราบใดที่โจทย์ให้ค่าที่ไม่ต่อเนื่องกันแต่มีรูปแบบที่ชัดเจนและต้องการหาผลรวม การหาผลรวมของลำดับมักจะเป็นเครื่องมือหลักที่ใช้เสมอ

ลองทำโจทย์ด้วยตัวเอง

ลองหาผลรวมของลำดับ $4, 9, 14, 19, 24$ โดยเริ่มจากพิจารณาว่ามันเป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ แล้วจึงตัดสินใจว่าสามารถใช้ $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ได้โดยตรงหรือไม่

หลังจากทำเสร็จแล้ว ให้ลองทำเวอร์ชันลำดับเรขาคณิต เช่น ผลรวม $4$ พจน์แรกของ $3, 6, 12, 24$ การทำทั้งสองข้อนี้ควบคู่กันจะช่วยให้คุณเห็นความแตกต่างระหว่าง "ผลต่างคงที่" และ "อัตราส่วนคงที่" ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น