Ciąg geometryczny i szereg geometryczny

Ciąg geometryczny powstaje przez mnożenie każdego kolejnego wyrazu przez ten sam iloraz. Szereg geometryczny to suma wyrazów tego ciągu. Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a iloraz ciągu to $r$, to wzór na $n$-ty wyraz ma postać $a_n = a_1r^{n-1}$, a wzór na sumę skończoną to $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$, gdy $r \ne 1$.

Na przykład $3, 6, 12, 24$ to ciąg geometryczny, ponieważ każdy wyraz otrzymujemy przez pomnożenie przez $2$. Użyj wzoru na ciąg, gdy chcesz obliczyć konkretny wyraz. Użyj wzoru na szereg, gdy chcesz znaleźć sumę kilku wyrazów.

Co sprawia, że ciąg jest geometryczny

Najważniejsza jest stała wartość ilorazu. W ciągu arytmetycznym za każdym razem dodajesz tę samą liczbę. W ciągu geometrycznym za każdym razem mnożysz przez tę samą liczbę.

Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a iloraz wynosi $r$, to

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Jeśli $r$ jest ujemne, znaki wyrazów zmieniają się naprzemiennie. Jeśli wartość bezwzględna $r$ jest mniejsza od $1$, wyrazy stają się coraz mniejsze co do wartości.

Ciąg geometryczny a szereg geometryczny

Ciąg geometryczny to lista wyrazów. Szereg geometryczny to suma tych wyrazów.

Ta różnica ma znaczenie, ponieważ od treści pytania zależy, co należy obliczyć. „Znajdź piąty wyraz” dotyczy wartości w ciągu. „Znajdź sumę pierwszych pięciu wyrazów” dotyczy wartości szeregu.

Przykład: obliczanie wyrazu i sumy skończonej

Rozważ ciąg geometryczny

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Tutaj $a_1 = 3$ oraz $r = 2$.

Aby obliczyć piąty wyraz:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Aby obliczyć sumę pierwszych pięciu wyrazów, dodaj wyrazy bezpośrednio:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Możesz też użyć wzoru na sumę skończonego szeregu geometrycznego:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

W tym przykładzie

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Kiedy działa wzór na szereg geometryczny

Dla skończonego szeregu geometrycznego wzór

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

działa, gdy $r \ne 1$.

Jeśli $r = 1$, każdy wyraz jest taki sam, więc suma wynosi po prostu

$$S_n = na_1$$

Dla nieskończonego szeregu geometrycznego suma jest skończona tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna $r$ jest mniejsza od $1$.

Typowe błędy

1. Używanie różnicy zamiast ilorazu.
2. Mylenie pytania o wyraz z pytaniem o sumę.
3. Używanie wzoru na sumę skończoną, gdy $r = 1$, co prowadziłoby do dzielenia przez zero.
4. Zapominanie, że ujemny iloraz powoduje naprzemienną zmianę znaków.

Gdzie stosuje się ciągi i szeregi geometryczne

Wzory geometryczne pojawiają się wtedy, gdy zmiana zachodzi przez stały czynnik. Obejmuje to podwajanie, wielokrotne zmniejszanie o ten sam procent, wzrost składany oraz niektóre idee związane z szeregami nieskończonymi w analizie matematycznej.

Spróbuj samodzielnie

Weź nowy ciąg o pierwszym wyrazie $5$ i ilorazie $\frac{1}{2}$. Wyznacz pierwsze cztery wyrazy, a następnie oblicz ich sumę. Jeśli chcesz przećwiczyć inny przypadek, wybierz ujemny iloraz i sprawdź, jak zmieniają się znaki kolejnych wyrazów.