Geometrische Folge und Reihe

Eine geometrische Folge wird in jedem Schritt mit demselben Quotienten multipliziert. Eine geometrische Reihe addiert die Glieder dieser Folge. Wenn das erste Glied $a_1$ und der Quotient $r$ ist, dann lautet die Formel der Folge $a_n = a_1r^{n-1}$, und die Formel für die endliche Summe ist $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$, wenn $r \ne 1$.

Zum Beispiel ist $3, 6, 12, 24$ geometrisch, weil jedes Glied durch Multiplikation mit $2$ entsteht. Verwende die Folgenformel, wenn du ein bestimmtes Glied suchst. Verwende die Reihenformel, wenn du die Summe mehrerer Glieder suchst.

Was eine Folge geometrisch macht

Die Grundidee ist ein konstanter Quotient. Bei einer arithmetischen Folge addierst du jedes Mal denselben Wert. Bei einer geometrischen Folge multiplizierst du jedes Mal mit demselben Wert.

Wenn das erste Glied $a_1$ und der Quotient $r$ ist, dann gilt

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Wenn $r$ negativ ist, wechseln die Vorzeichen. Wenn der Betrag von $r$ kleiner als $1$ ist, werden die Glieder vom Betrag her kleiner.

Geometrische Folge vs. geometrische Reihe

Eine geometrische Folge ist die Liste der Glieder. Eine geometrische Reihe ist die Summe dieser Glieder.

Dieser Unterschied ist wichtig, weil die Frage bestimmt, was du berechnen sollst. „Bestimme das fünfte Glied“ fragt nach einem Folgenwert. „Bestimme die Summe der ersten fünf Glieder“ fragt nach einem Reihenwert.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein Glied und eine endliche Summe bestimmen

Verwende die geometrische Folge

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Hier sind $a_1 = 3$ und $r = 2$.

Um das fünfte Glied zu finden:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Um die Summe der ersten fünf Glieder zu finden, addiere die Glieder direkt:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Du kannst auch die Formel für die endliche geometrische Reihe verwenden:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Für dieses Beispiel gilt

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Wann die Formel für die geometrische Reihe funktioniert

Für eine endliche geometrische Reihe gilt die Formel

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

wenn $r \ne 1$.

Wenn $r = 1$, ist jedes Glied gleich, also ist die Summe einfach

$$S_n = na_1$$

Für eine unendliche geometrische Reihe gibt es nur dann eine endliche Summe, wenn der Betrag von $r$ kleiner als $1$ ist.

Häufige Fehler

1. Einen konstanten Unterschied statt eines konstanten Quotienten zu verwenden.
2. Eine Frage nach einem Glied mit einer Frage nach einer Summe zu verwechseln.
3. Die Formel für die endliche Summe bei $r = 1$ zu verwenden, was zu einer Division durch null führen würde.
4. Zu vergessen, dass ein negativer Quotient zu wechselnden Vorzeichen führt.

Wann geometrische Folgen und Reihen verwendet werden

Geometrische Muster treten auf, wenn sich etwas mit einem konstanten Faktor verändert. Dazu gehören Verdopplung, wiederholter prozentualer Zerfall, exponentielles Wachstum und einige Ideen zu unendlichen Reihen in der Analysis.

Probiere deine eigene Version

Probiere eine neue Folge mit dem ersten Glied $5$ und dem Quotienten $\frac{1}{2}$. Bestimme die ersten vier Glieder und dann ihre Summe. Wenn du noch einen anderen Fall möchtest, probiere einen negativen Quotienten aus und prüfe, wie sich die Vorzeichen von Glied zu Glied ändern.