วงรี — สมการ โฟกัส ความเยื้องศูนย์ และกราฟ

วงรีเป็นกราฟที่มีรูปร่างเหมือนวงกลมที่ถูกยืดออก ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เรามักระบุวงรีจากสมการมาตรฐาน แล้วอ่านจุดศูนย์กลาง กึ่งแกนยาว กึ่งแกนสั้น โฟกัส และความเยื้องศูนย์ได้จากสมการนั้น

ในเชิงเรขาคณิต วงรีคือเซตของจุดที่ผลบวกของระยะทางจากจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่ จุดคงที่สองจุดนั้นเรียกว่า โฟกัส นิยามนี้อธิบายได้ว่าทำไมกราฟจึงมีจุดศูนย์กลาง มีทิศทางที่ยาวกว่า และมีทิศทางที่สั้นกว่า

สำหรับวงรีที่ไม่เป็นวงกลม มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และมีแกนเอกในแนวนอน สมการมาตรฐานคือ

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

ในที่นี้ $a$ คือกึ่งแกนเอก และ $b$ คือกึ่งแกนโท จุดยอดคือ $(\pm a, 0)$ และโฟกัสคือ $(\pm c, 0)$ โดยที่

$$c^2 = a^2 - b^2$$

ความเยื้องศูนย์คือ

$$e = \frac{c}{a}$$

สำหรับวงรีที่ไม่เป็นวงกลม จะมี $0 < e < 1$ ถ้า $e$ มีค่าน้อย วงรีจะมีลักษณะใกล้เคียงวงกลมมากขึ้น ถ้าค่าเข้าใกล้ $1$ มากขึ้น วงรีจะยิ่งยืดมากขึ้น

สมการวงรีในรูปมาตรฐาน

รูปมาตรฐานด้านล่างอ่านได้เร็วที่สุด เพราะวงรีขนานกับแกนและไม่ได้ถูกหมุน

ถ้าแกนเอกเป็นแนวนอน

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

ถ้าแกนเอกเป็นแนวตั้ง

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

ทั้งสองกรณี $(h, k)$ คือจุดศูนย์กลาง สำหรับรูปมาตรฐานที่ขนานกับแกนเหล่านี้ ตัวส่วนที่มากกว่าจะบอกทิศทางของแกนเอก

คุณสามารถอ่านส่วนสำคัญได้ดังนี้:

• จุดศูนย์กลาง: $(h, k)$
• กึ่งแกนเอก: $a$
• กึ่งแกนโท: $b$
• ทิศทางของแกนเอก: ตัวแปรที่อยู่ใต้ตัวส่วนที่มากกว่า

โฟกัสอยู่บนแกนเอก ไม่ได้อยู่ที่จุดยอด ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัสคือ $c$ โดยที่

$$c^2 = a^2 - b^2$$

ดังนั้นพิกัดของโฟกัสคือ:

• แกนเอกแนวนอน: $(h \pm c, k)$
• แกนเอกแนวตั้ง: $(h, k \pm c)$

โฟกัสและความเยื้องศูนย์บอกอะไรได้บ้าง

ค่า $a$ และ $b$ บอกว่าวงรียื่นออกไปไกลแค่ไหนในทิศทางยาวและทิศทางสั้น ส่วนค่า $c$ บอกว่าโฟกัสอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าใด

ถ้าโฟกัสอยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง วงรีจะดูค่อนข้างกลม ถ้าโฟกัสอยู่ห่างกันมากขึ้น วงรีจะดูแคบลง ความเยื้องศูนย์ $e = c/a$ ทำให้แนวคิดนี้สรุปออกมาเป็นตัวเลขเพียงค่าเดียว

ตัวอย่างทำโจทย์: เขียนกราฟ $x^2/25 + y^2/9 = 1$

เริ่มจากสมการ

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

เพราะ $25 > 9$ แกนเอกจึงเป็นแนวนอน ตอนนี้อ่านค่าได้ว่า

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

ต่อไปหา $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

ดังนั้น

$$c = 4$$

ดังนั้นจุดสำคัญคือ:

• จุดศูนย์กลาง: $(0, 0)$
• จุดยอด: $(\pm 5, 0)$
• จุดยอดร่วม: $(0, \pm 3)$
• โฟกัส: $(\pm 4, 0)$

ความเยื้องศูนย์คือ

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

เมื่อต้องการสเก็ตช์กราฟ ให้พล็อตจุดศูนย์กลางก่อน แล้วจึงพล็อตจุดยอดและจุดยอดร่วม วาดเส้นโค้งเรียบผ่านปลายทั้งสี่จุดนั้น เนื่องจากแกนเอกเป็นแนวนอน วงรีจึงควรกว้างกว่าความสูง

วิธีเขียนกราฟวงรีทีละขั้น

จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานก่อน เงื่อนไขนี้สำคัญ เพราะทางลัดอย่าง “ตัวส่วนที่มากกว่าคือแกนเอก” ใช้ได้ชัดเจนเฉพาะกับรูปมาตรฐานที่ขนานกับแกนเท่านั้น

จากนั้น:

1. หาจุดศูนย์กลาง $(h, k)$
2. ระบุ $a$ และ $b$ โดยที่สำหรับวงรีที่ไม่เป็นวงกลมจะมี $a > b > 0$
3. ใช้ตัวส่วนที่มากกว่าเพื่อระบุทิศทางของแกนเอก
4. ทำเครื่องหมายจุดยอดและจุดยอดร่วมจากจุดศูนย์กลาง
5. ถ้าจำเป็น ให้คำนวณ $c$ จาก $c^2 = a^2 - b^2$ แล้ววางโฟกัสบนแกนเอก

ถ้าวงรีมีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ แทนที่จะเป็นจุดกำเนิด ก็ใช้ขั้นตอนเดิมได้ โดยเลื่อนจุดสำคัญทุกจุดด้วย $(h, k)$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สลับ $a$ กับ $b$

สำหรับวงรีที่ไม่เป็นวงกลมในรูปมาตรฐาน $a$ คือกึ่งแกนเอก ดังนั้น $a > b$ นักเรียนบางคนกำหนดให้ $a$ เป็นพจน์ของ $x$ โดยอัตโนมัติ แต่จะถูกต้องก็ต่อเมื่อแกนเอกเป็นแนวนอนเท่านั้น

ใช้ความสัมพันธ์ของโฟกัสผิด

สำหรับวงรี ต้องใช้ $c^2 = a^2 - b^2$ ไม่ใช่ $a^2 + b^2$ เครื่องหมายที่ผิดจะทำให้ได้โฟกัสผิดและความเยื้องศูนย์ผิดไปด้วย

สับสนระหว่างจุดยอดกับโฟกัส

จุดยอดคือปลายของแกนเอก ส่วนโฟกัสอยู่ภายในวงรี เว้นแต่รูปจะเข้าใกล้กรณีวงกลม ทั้งสองอย่างไม่ใช่จุดเดียวกัน

ใช้ทางลัดเรื่องตัวส่วนมากเกินไป

ตัวส่วนที่มากกว่าจะบอกแกนเอกได้ก็ต่อเมื่อสมการอยู่ในรูปมาตรฐานที่ขนานกับแกนแล้วเท่านั้น ถ้าวงรีถูกหมุน จะไม่สามารถอ่านได้ตรง ๆ แบบนั้น

วงรีถูกนำไปใช้เมื่อใด

วงรีปรากฏอยู่ทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย เพราะเชื่อมโยงนิยามเชิงเรขาคณิตเข้ากับสมการที่สามารถเขียนกราฟได้ นอกจากนี้ยังพบในแบบจำลองทางฟิสิกส์ด้วย ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองสองวัตถุแบบอุดมคติ เส้นทางการโคจรจะเป็นวงรีที่มีโฟกัสหนึ่งจุดอยู่ที่วัตถุกลาง

ในชั้นเรียน คุณมักใช้วงรีเพื่อเขียนกราฟภาคตัดกรวย หาโฟกัสและความเยื้องศูนย์ และเปรียบเทียบว่ารูปร่างเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อ $a$, $b$ และ $e$ เปลี่ยนค่า

ลองทำวงรีที่เลื่อนตำแหน่งต่อไป

พิจารณา

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

แล้วหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด โฟกัส และความเยื้องศูนย์ก่อนสเก็ตช์กราฟ ถ้าต้องการตรวจคำตอบอีกครั้ง ให้เปรียบเทียบกราฟของคุณกับตัวอย่างด้านบน แล้วดูให้ชัดว่าการเลื่อนตำแหน่งทำให้จุดสำคัญเปลี่ยนไปอย่างไร โดยที่รูปร่างโดยรวมยังคงเดิม