Έλλειψη — Εξίσωση, Εστίες, Εκκεντρότητα & Γράφημα

Η έλλειψη είναι ένα γράφημα που μοιάζει με τεντωμένο κύκλο. Στην αναλυτική γεωμετρία, συνήθως την αναγνωρίζεις από μια τυπική εξίσωση και από εκεί βρίσκεις το κέντρο, τον μεγάλο και τον μικρό ημιάξονα, τις εστίες και την εκκεντρότητα.

Γεωμετρικά, η έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό. Αυτά τα σταθερά σημεία λέγονται εστίες. Αυτός ο ορισμός εξηγεί γιατί το γράφημα έχει κέντρο, μια μεγαλύτερη κατεύθυνση και μια μικρότερη κατεύθυνση.

Για μια μη κυκλική έλλειψη με κέντρο την αρχή των αξόνων και οριζόντιο μεγάλο άξονα, η τυπική εξίσωση είναι

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Εδώ το $a$ είναι ο μεγάλος ημιάξονας και το $b$ ο μικρός ημιάξονας. Οι κορυφές είναι τα $(\pm a, 0)$ και οι εστίες τα $(\pm c, 0)$, όπου

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Η εκκεντρότητα είναι

$$e = \frac{c}{a}$$

Για μια μη κυκλική έλλειψη, ισχύει $0 < e < 1$. Μικρότερες τιμές του $e$ σημαίνουν ότι η έλλειψη είναι πιο κοντά σε κύκλο. Τιμές πιο κοντά στο $1$ σημαίνουν ότι είναι πιο τεντωμένη.

Εξίσωση έλλειψης σε τυπική μορφή

Οι παρακάτω τυπικές μορφές διαβάζονται πιο γρήγορα, επειδή η έλλειψη δεν είναι περιστραμμένη και οι άξονές της είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων.

Αν ο μεγάλος άξονας είναι οριζόντιος,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Αν ο μεγάλος άξονας είναι κατακόρυφος,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Και στις δύο περιπτώσεις, το $(h, k)$ είναι το κέντρο. Για αυτές τις τυπικές μορφές με άξονες παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων, ο μεγαλύτερος παρονομαστής δείχνει την κατεύθυνση του μεγάλου άξονα.

Μπορείς να διαβάσεις τα βασικά στοιχεία ως εξής:

• Κέντρο: $(h, k)$
• Μεγάλος ημιάξονας: $a$
• Μικρός ημιάξονας: $b$
• Κατεύθυνση μεγάλου άξονα: η μεταβλητή κάτω από τον μεγαλύτερο παρονομαστή

Οι εστίες βρίσκονται πάνω στον μεγάλο άξονα, όχι στις κορυφές. Η απόστασή τους από το κέντρο είναι $c$, όπου

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Άρα οι συντεταγμένες των εστιών είναι:

• Οριζόντιος μεγάλος άξονας: $(h \pm c, k)$
• Κατακόρυφος μεγάλος άξονας: $(h, k \pm c)$

Τι σου δείχνουν οι εστίες και η εκκεντρότητα

Οι αριθμοί $a$ και $b$ δείχνουν πόσο εκτείνεται η έλλειψη στη μεγάλη και στη μικρή της κατεύθυνση. Η τιμή $c$ δείχνει πόσο μακριά βρίσκονται οι εστίες από το κέντρο.

Αν οι εστίες είναι κοντά στο κέντρο, η έλλειψη φαίνεται πιο στρογγυλή. Αν απέχουν περισσότερο, η έλλειψη φαίνεται πιο στενή. Η εκκεντρότητα, $e = c/a$, μετατρέπει αυτή την ιδέα σε έναν μόνο αριθμό.

Λυμένο παράδειγμα: σχεδίασε το $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Ξεκίνα από την εξίσωση

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Επειδή $25 > 9$, ο μεγάλος άξονας είναι οριζόντιος. Τώρα διάβασε

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Τώρα βρες το $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

άρα

$$c = 4$$

Άρα τα σημαντικά σημεία είναι:

• Κέντρο: $(0, 0)$
• Κορυφές: $(\pm 5, 0)$
• Δευτερεύουσες κορυφές: $(0, \pm 3)$
• Εστίες: $(\pm 4, 0)$

Η εκκεντρότητα είναι

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Για να κάνεις το σκαρίφημα, σημείωσε πρώτα το κέντρο και μετά τις κορυφές και τις δευτερεύουσες κορυφές. Σχεδίασε μια ομαλή καμπύλη που περνά από αυτά τα τέσσερα άκρα. Αφού ο μεγάλος άξονας είναι οριζόντιος, η έλλειψη πρέπει να είναι πιο πλατιά παρά ψηλή.

Πώς να σχεδιάσεις μια έλλειψη βήμα προς βήμα

Βάλε πρώτα την εξίσωση σε τυπική μορφή. Αυτό είναι σημαντικό, επειδή συντομεύσεις όπως «ο μεγαλύτερος παρονομαστής δίνει τον μεγάλο άξονα» λειτουργούν καθαρά μόνο στην τυπική μορφή με άξονες παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων.

Έπειτα:

1. Βρες το κέντρο $(h, k)$.
2. Προσδιόρισε τα $a$ και $b$, με $a > b > 0$ για μια μη κυκλική έλλειψη.
3. Χρησιμοποίησε τον μεγαλύτερο παρονομαστή για να βρεις την κατεύθυνση του μεγάλου άξονα.
4. Σημείωσε τις κορυφές και τις δευτερεύουσες κορυφές από το κέντρο.
5. Αν χρειάζεται, υπολόγισε το $c$ από τη σχέση $c^2 = a^2 - b^2$ και τοποθέτησε τις εστίες πάνω στον μεγάλο άξονα.

Αν η έλλειψη έχει κέντρο το $(h, k)$ αντί για την αρχή των αξόνων, τα ίδια βήματα ισχύουν αφού μετατοπίσεις κάθε βασικό σημείο κατά $(h, k)$.

Συνηθισμένα λάθη

Μπέρδεμα ανάμεσα στα $a$ και $b$

Για μια μη κυκλική έλλειψη σε τυπική μορφή, το $a$ είναι ο μεγάλος ημιάξονας, άρα $a > b$. Οι μαθητές μερικές φορές αντιστοιχίζουν αυτόματα το $a$ στον όρο του $x$, αλλά αυτό ισχύει μόνο όταν ο μεγάλος άξονας είναι οριζόντιος.

Χρήση λανθασμένης σχέσης για τις εστίες

Για μια έλλειψη, ισχύει $c^2 = a^2 - b^2$, όχι $a^2 + b^2$. Το λάθος πρόσημο δίνει λάθος εστίες και λάθος εκκεντρότητα.

Σύγχυση κορυφών και εστιών

Οι κορυφές είναι τα άκρα του μεγάλου άξονα. Οι εστίες βρίσκονται στο εσωτερικό της έλλειψης, εκτός αν το σχήμα φτάσει στο οριακό σημείο του κύκλου. Δεν είναι τα ίδια σημεία.

Υπερβολική χρήση του κανόνα του παρονομαστή

Ο μεγαλύτερος παρονομαστής προσδιορίζει τον μεγάλο άξονα μόνο αφού η εξίσωση γραφτεί στην τυπική μορφή με άξονες παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. Μια περιστραμμένη έλλειψη δεν διαβάζεται έτσι άμεσα.

Πού χρησιμοποιούνται οι ελλείψεις

Οι ελλείψεις εμφανίζονται σε όλη την αναλυτική γεωμετρία και στις κωνικές τομές, επειδή συνδέουν έναν γεωμετρικό ορισμό με μια εξίσωση που μπορείς να σχεδιάσεις. Εμφανίζονται επίσης και σε μοντέλα της φυσικής. Για παράδειγμα, στο ιδανικοποιημένο μοντέλο δύο σωμάτων, οι τροχιές είναι ελλείψεις με τη μία εστία στο κεντρικό σώμα.

Στο μάθημα, τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείς τις ελλείψεις για να σχεδιάζεις κωνικές τομές, να βρίσκεις εστίες και εκκεντρότητα, και να συγκρίνεις πώς αλλάζει το σχήμα όταν μεταβάλλονται τα $a$, $b$ και $e$.

Δοκίμασε μετά μια μετατοπισμένη έλλειψη

Πάρε την

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

και βρες το κέντρο, τις κορυφές, τις εστίες και την εκκεντρότητα πριν τη σχεδιάσεις. Αν θέλεις έναν ακόμη έλεγχο, σύγκρινε το γράφημά σου με το παραπάνω παράδειγμα και δες ακριβώς πώς η μετατόπιση αλλάζει τα βασικά σημεία χωρίς να αλλάζει το συνολικό σχήμα.