Elipse — Equação, Focos, Excentricidade e Gráfico

Uma elipse é um gráfico com formato de círculo alongado. Em geometria analítica, você normalmente a identifica por uma equação padrão e, a partir dela, encontra o centro, os semieixos maior e menor, os focos e a excentricidade.

Geometricamente, uma elipse é o conjunto de pontos cujas distâncias até dois pontos fixos somam uma constante. Esses pontos fixos são os focos. Essa definição explica por que o gráfico tem um centro, uma direção mais longa e uma direção mais curta.

Para uma elipse não circular centrada na origem com eixo maior horizontal, a equação padrão é

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Aqui, $a$ é o semieixo maior e $b$ é o semieixo menor. Os vértices são $(\pm a, 0)$, e os focos são $(\pm c, 0)$, onde

$$c^2 = a^2 - b^2$$

A excentricidade é

$$e = \frac{c}{a}$$

Para uma elipse não circular, $0 < e < 1$. Valores menores de $e$ significam que a elipse está mais próxima de um círculo. Valores mais próximos de $1$ significam que ela é mais alongada.

Equação da elipse na forma padrão

As formas padrão abaixo são as mais rápidas de interpretar porque a elipse está alinhada aos eixos, sem rotação.

Se o eixo maior for horizontal,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Se o eixo maior for vertical,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Nos dois casos, $(h, k)$ é o centro. Nessas formas padrão alinhadas aos eixos, o maior denominador indica a direção do eixo maior.

Você pode identificar as partes principais assim:

• Centro: $(h, k)$
• Semieixo maior: $a$
• Semieixo menor: $b$
• Direção do eixo maior: a variável sob o maior denominador

Os focos ficam sobre o eixo maior, não nos vértices. A distância deles até o centro é $c$, onde

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Assim, as coordenadas dos focos são:

• Eixo maior horizontal: $(h \pm c, k)$
• Eixo maior vertical: $(h, k \pm c)$

O que os focos e a excentricidade mostram

Os números $a$ e $b$ indicam até onde a elipse vai nas direções mais longa e mais curta. O valor de $c$ indica quão longe os focos estão do centro.

Se os focos estiverem perto do centro, a elipse parece mais arredondada. Se estiverem mais afastados, a elipse parece mais estreita. A excentricidade, $e = c/a$, transforma essa ideia em um único número.

Exemplo resolvido: gráfico de $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Comece com a equação

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Como $25 > 9$, o eixo maior é horizontal. Agora identifique

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Agora encontre $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

logo,

$$c = 4$$

Então, os pontos importantes são:

• Centro: $(0, 0)$
• Vértices: $(\pm 5, 0)$
• Co-vértices: $(0, \pm 3)$
• Focos: $(\pm 4, 0)$

A excentricidade é

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Para esboçar o gráfico, marque primeiro o centro, depois os vértices e os co-vértices. Desenhe uma curva suave passando por esses quatro extremos. Como o eixo maior é horizontal, a elipse deve ser mais larga do que alta.

Como fazer o gráfico de uma elipse passo a passo

Primeiro, coloque a equação na forma padrão. Isso é importante porque atalhos como “o maior denominador indica o eixo maior” só funcionam de forma direta na forma padrão alinhada aos eixos.

Depois:

1. Encontre o centro $(h, k)$.
2. Identifique $a$ e $b$, com $a > b > 0$ para uma elipse não circular.
3. Use o maior denominador para identificar a direção do eixo maior.
4. Marque os vértices e os co-vértices a partir do centro.
5. Se necessário, calcule $c$ por meio de $c^2 = a^2 - b^2$ e coloque os focos sobre o eixo maior.

Se a elipse estiver centrada em $(h, k)$ em vez da origem, os mesmos passos funcionam depois de deslocar cada ponto importante por $(h, k)$.

Erros comuns

Confundir $a$ e $b$

Para uma elipse não circular na forma padrão, $a$ é o semieixo maior, então $a > b$. Às vezes, estudantes associam $a$ automaticamente ao termo com $x$, mas isso só é verdade quando o eixo maior é horizontal.

Usar a relação errada para os focos

Para uma elipse, $c^2 = a^2 - b^2$, e não $a^2 + b^2$. O sinal errado leva a focos errados e a uma excentricidade errada.

Confundir vértices com focos

Os vértices são as extremidades do eixo maior. Os focos ficam dentro da elipse, a menos que a figura chegue ao caso limite circular. Eles não são os mesmos pontos.

Usar demais o atalho do denominador

O maior denominador identifica o eixo maior somente depois que a equação está na forma padrão alinhada aos eixos. Uma elipse rotacionada não pode ser lida assim diretamente.

Onde as elipses são usadas

As elipses aparecem em toda a geometria analítica e nas seções cônicas porque conectam uma definição geométrica a uma equação que você pode representar graficamente. Elas também aparecem em modelos da física. Por exemplo, no modelo idealizado de dois corpos, as órbitas são elipses com um foco no corpo central.

Em sala de aula, você usa elipses com mais frequência para fazer gráficos de cônicas, encontrar focos e excentricidade e comparar como a forma muda quando $a$, $b$ e $e$ variam.

Tente agora uma elipse deslocada

Considere

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

e encontre o centro, os vértices, os focos e a excentricidade antes de fazer o esboço. Se quiser mais uma verificação, compare seu gráfico com o exemplo acima e veja exatamente como o deslocamento altera os pontos principais sem mudar a forma geral.