Elip — Phương trình, tiêu điểm, độ lệch tâm & đồ thị

Elip là một đồ thị có dạng như đường tròn bị kéo dãn. Trong hình học tọa độ, bạn thường nhận ra nó từ một phương trình chuẩn, rồi đọc ra tâm, nửa trục dài, nửa trục ngắn, các tiêu điểm và độ lệch tâm.

Về mặt hình học, elip là tập hợp các điểm sao cho tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm cố định là một hằng số. Hai điểm cố định đó gọi là tiêu điểm. Định nghĩa này giải thích vì sao đồ thị có một tâm, một hướng dài hơn và một hướng ngắn hơn.

Với một elip không phải đường tròn, tâm tại gốc tọa độ và có trục lớn nằm ngang, phương trình chuẩn là

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Ở đây $a$ là nửa trục lớn và $b$ là nửa trục nhỏ. Các đỉnh là $(\pm a, 0)$, và các tiêu điểm là $(\pm c, 0)$, trong đó

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Độ lệch tâm là

$$e = \frac{c}{a}$$

Với elip không phải đường tròn, $0 < e < 1$. Giá trị $e$ càng nhỏ thì elip càng gần đường tròn. Giá trị càng gần $1$ thì elip càng bị kéo dãn nhiều hơn.

Phương trình elip ở dạng chuẩn

Các dạng chuẩn dưới đây là nhanh đọc nhất vì elip có trục song song với các trục tọa độ, không bị quay.

Nếu trục lớn nằm ngang,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Nếu trục lớn thẳng đứng,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Trong cả hai trường hợp, $(h, k)$ là tâm. Với các dạng chuẩn có trục song song với các trục tọa độ này, mẫu số lớn hơn cho biết hướng của trục lớn.

Bạn có thể đọc các thành phần chính như sau:

• Tâm: $(h, k)$
• Nửa trục lớn: $a$
• Nửa trục nhỏ: $b$
• Hướng của trục lớn: biến nằm dưới mẫu số lớn hơn

Các tiêu điểm nằm trên trục lớn, không nằm tại các đỉnh. Khoảng cách từ chúng đến tâm là $c$, trong đó

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Vì vậy tọa độ các tiêu điểm là:

• Trục lớn nằm ngang: $(h \pm c, k)$
• Trục lớn thẳng đứng: $(h, k \pm c)$

Tiêu điểm và độ lệch tâm cho bạn biết điều gì

Các số $a$ và $b$ cho biết elip kéo dài bao xa theo hướng dài và hướng ngắn của nó. Giá trị $c$ cho biết các tiêu điểm cách tâm bao xa.

Nếu các tiêu điểm gần tâm, elip trông tròn hơn. Nếu chúng cách xa nhau hơn, elip trông hẹp hơn. Độ lệch tâm, $e = c/a$, biến ý tưởng đó thành một con số duy nhất.

Ví dụ có lời giải: vẽ đồ thị $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Bắt đầu với phương trình

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Vì $25 > 9$, trục lớn nằm ngang. Bây giờ ta đọc được

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Tiếp theo tìm $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

nên

$$c = 4$$

Vậy các điểm quan trọng là:

• Tâm: $(0, 0)$
• Các đỉnh: $(\pm 5, 0)$
• Các đỉnh phụ: $(0, \pm 3)$
• Các tiêu điểm: $(\pm 4, 0)$

Độ lệch tâm là

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Để phác họa đồ thị, trước hết hãy chấm tâm, rồi đến các đỉnh và đỉnh phụ. Vẽ một đường cong trơn đi qua bốn đầu mút đó. Vì trục lớn nằm ngang nên elip phải rộng hơn chiều cao của nó.

Cách vẽ elip từng bước

Trước hết hãy đưa phương trình về dạng chuẩn. Điều này rất quan trọng vì các mẹo như “mẫu số lớn hơn cho biết trục lớn” chỉ áp dụng rõ ràng cho dạng chuẩn có trục song song với các trục tọa độ.

Sau đó:

1. Tìm tâm $(h, k)$.
2. Xác định $a$ và $b$, với $a > b > 0$ cho elip không phải đường tròn.
3. Dùng mẫu số lớn hơn để xác định hướng của trục lớn.
4. Đánh dấu các đỉnh và đỉnh phụ từ tâm.
5. Nếu cần, tính $c$ từ $c^2 = a^2 - b^2$ và đặt các tiêu điểm trên trục lớn.

Nếu elip có tâm tại $(h, k)$ thay vì gốc tọa độ, các bước vẫn giống hệt sau khi tịnh tiến mọi điểm quan trọng theo $(h, k)$.

Những lỗi thường gặp

Nhầm lẫn giữa $a$ và $b$

Với elip không phải đường tròn ở dạng chuẩn, $a$ là nửa trục lớn nên $a > b$. Học sinh đôi khi tự động gán $a$ cho hạng tử chứa $x$, nhưng điều đó chỉ đúng khi trục lớn nằm ngang.

Dùng sai hệ thức cho tiêu điểm

Với elip, $c^2 = a^2 - b^2$, không phải $a^2 + b^2$. Dấu sai sẽ cho tiêu điểm sai và độ lệch tâm sai.

Nhầm các đỉnh với tiêu điểm

Các đỉnh là hai đầu mút của trục lớn. Các tiêu điểm nằm bên trong elip, trừ khi hình tiến tới trường hợp giới hạn là đường tròn. Chúng không phải là cùng một điểm.

Lạm dụng mẹo về mẫu số

Mẫu số lớn hơn chỉ xác định trục lớn sau khi phương trình đã ở dạng chuẩn với trục song song các trục tọa độ. Elip bị quay thì không thể đọc trực tiếp theo cách đó.

Khi nào elip được sử dụng

Elip xuất hiện xuyên suốt trong hình học giải tích và các đường conic vì nó nối một định nghĩa hình học với một phương trình có thể vẽ được. Nó cũng xuất hiện trong các mô hình vật lý. Chẳng hạn, trong mô hình hai vật lý tưởng, quỹ đạo là các elip với một tiêu điểm nằm tại vật trung tâm.

Trong lớp học, bạn thường dùng elip để vẽ các đường conic, tìm tiêu điểm và độ lệch tâm, đồng thời so sánh hình dạng thay đổi thế nào khi $a$, $b$ và $e$ thay đổi.

Hãy thử một elip tịnh tiến tiếp theo

Xét

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

và tìm tâm, các đỉnh, các tiêu điểm và độ lệch tâm trước khi phác họa nó. Nếu muốn kiểm tra thêm một lần nữa, hãy so sánh đồ thị của bạn với ví dụ ở trên và xem chính xác phép tịnh tiến làm thay đổi các điểm quan trọng như thế nào mà không làm đổi hình dạng tổng thể.