Ellipse — Équation, foyers, excentricité et graphique

Une ellipse est une courbe qui ressemble à un cercle étiré. En géométrie analytique, on l’identifie généralement à partir d’une équation standard, puis on en déduit le centre, les demi-axes long et court, les foyers et l’excentricité.

Géométriquement, une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. Ces points fixes sont les foyers. Cette définition explique pourquoi la courbe a un centre, une direction plus longue et une direction plus courte.

Pour une ellipse non circulaire centrée à l’origine avec un axe majeur horizontal, l’équation standard est

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Ici, $a$ est le demi-grand axe et $b$ est le demi-petit axe. Les sommets sont $(\pm a, 0)$, et les foyers sont $(\pm c, 0)$, où

$$c^2 = a^2 - b^2$$

L’excentricité est

$$e = \frac{c}{a}$$

Pour une ellipse non circulaire, $0 < e < 1$. Plus $e$ est petit, plus l’ellipse est proche d’un cercle. Plus $e$ est proche de $1$, plus elle est allongée.

Équation de l’ellipse sous forme standard

Les formes standard ci-dessous sont les plus rapides à lire, car l’ellipse est alignée sur les axes et non tournée.

Si l’axe majeur est horizontal,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Si l’axe majeur est vertical,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Dans les deux cas, $(h, k)$ est le centre. Pour ces formes standard alignées sur les axes, le plus grand dénominateur indique la direction de l’axe majeur.

Vous pouvez lire les éléments essentiels ainsi :

• Centre : $(h, k)$
• Demi-grand axe : $a$
• Demi-petit axe : $b$
• Direction de l’axe majeur : la variable sous le plus grand dénominateur

Les foyers se trouvent sur l’axe majeur, et non aux sommets. Leur distance au centre est $c$, où

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Donc les coordonnées des foyers sont :

• Axe majeur horizontal : $(h \pm c, k)$
• Axe majeur vertical : $(h, k \pm c)$

Ce que les foyers et l’excentricité indiquent

Les nombres $a$ et $b$ indiquent jusqu’où l’ellipse s’étend dans ses directions longue et courte. La valeur $c$ indique à quelle distance les foyers se trouvent du centre.

Si les foyers sont proches du centre, l’ellipse paraît plus ronde. S’ils sont plus éloignés, l’ellipse paraît plus étroite. L’excentricité, $e = c/a$, résume cette idée en un seul nombre.

Exemple détaillé : tracer $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Commençons par l’équation

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Comme $25 > 9$, l’axe majeur est horizontal. On lit alors

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Calculons maintenant $c$ :

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

donc

$$c = 4$$

Les points importants sont donc :

• Centre : $(0, 0)$
• Sommets : $(\pm 5, 0)$
• Co-sommets : $(0, \pm 3)$
• Foyers : $(\pm 4, 0)$

L’excentricité vaut

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Pour esquisser la courbe, placez d’abord le centre, puis les sommets et les co-sommets. Tracez une courbe lisse passant par ces quatre extrémités. Comme l’axe majeur est horizontal, l’ellipse doit être plus large que haute.

Comment tracer une ellipse étape par étape

Mettez d’abord l’équation sous forme standard. Cette condition est importante, car des raccourcis comme « le plus grand dénominateur donne l’axe majeur » ne fonctionnent clairement que pour la forme standard alignée sur les axes.

Ensuite :

1. Trouvez le centre $(h, k)$.
2. Identifiez $a$ et $b$, avec $a > b > 0$ pour une ellipse non circulaire.
3. Utilisez le plus grand dénominateur pour identifier la direction de l’axe majeur.
4. Placez les sommets et les co-sommets à partir du centre.
5. Si nécessaire, calculez $c$ à partir de $c^2 = a^2 - b^2$ et placez les foyers sur l’axe majeur.

Si l’ellipse est centrée en $(h, k)$ plutôt qu’à l’origine, les mêmes étapes s’appliquent après avoir décalé chaque point clé de $(h, k)$.

Erreurs fréquentes

Confondre $a$ et $b$

Pour une ellipse non circulaire sous forme standard, $a$ est le demi-grand axe, donc $a > b$. Les élèves attribuent parfois automatiquement $a$ au terme en $x$, mais cela n’est vrai que lorsque l’axe majeur est horizontal.

Utiliser la mauvaise relation pour les foyers

Pour une ellipse, $c^2 = a^2 - b^2$, et non $a^2 + b^2$. Un mauvais signe donne de mauvais foyers et une mauvaise excentricité.

Confondre sommets et foyers

Les sommets sont les extrémités de l’axe majeur. Les foyers sont à l’intérieur de l’ellipse, sauf dans le cas limite circulaire. Ce ne sont pas les mêmes points.

Abuser du raccourci du dénominateur

Le plus grand dénominateur n’identifie l’axe majeur qu’une fois l’équation mise sous forme standard alignée sur les axes. Une ellipse tournée ne se lit pas directement de cette façon.

Quand utilise-t-on les ellipses ?

Les ellipses apparaissent dans toute la géométrie analytique et dans l’étude des coniques, car elles relient une définition géométrique à une équation que l’on peut tracer. Elles apparaissent aussi dans des modèles de physique. Par exemple, dans le modèle idéalisé à deux corps, les trajectoires orbitales sont des ellipses dont l’un des foyers est le corps central.

En cours, on utilise le plus souvent les ellipses pour tracer des coniques, trouver les foyers et l’excentricité, et comparer la façon dont la forme change lorsque $a$, $b$ et $e$ varient.

Essayez maintenant une ellipse décalée

Prenez

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

et trouvez le centre, les sommets, les foyers et l’excentricité avant de la tracer. Si vous voulez une vérification supplémentaire, comparez votre graphique à l’exemple ci-dessus et observez précisément comment le décalage modifie les points clés sans changer la forme générale.