Ellipse — Gleichung, Brennpunkte, Exzentrizität & Graph

Eine Ellipse ist ein Graph in der Form eines gestreckten Kreises. In der Koordinatengeometrie erkennt man sie meist an einer Standardgleichung und liest daraus dann den Mittelpunkt, die lange und kurze Halbachse, die Brennpunkte und die Exzentrizität ab.

Geometrisch ist eine Ellipse die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei festen Punkten zusammen konstant sind. Diese festen Punkte heißen Brennpunkte. Diese Definition erklärt, warum der Graph einen Mittelpunkt, eine längere Richtung und eine kürzere Richtung hat.

Für eine nicht kreisförmige Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und waagerechter Hauptachse lautet die Standardgleichung

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Hier ist $a$ die große Halbachse und $b$ die kleine Halbachse. Die Scheitelpunkte sind $(\pm a, 0)$, und die Brennpunkte sind $(\pm c, 0)$, wobei

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Die Exzentrizität ist

$$e = \frac{c}{a}$$

Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt $0 < e < 1$. Kleinere Werte von $e$ bedeuten, dass die Ellipse näher an einem Kreis liegt. Werte näher bei $1$ bedeuten, dass sie stärker gestreckt ist.

Ellipsengleichung in Standardform

Die folgenden Standardformen lassen sich am schnellsten ablesen, weil die Ellipse achsenparallel und nicht gedreht ist.

Wenn die Hauptachse waagerecht ist,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Wenn die Hauptachse senkrecht ist,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

In beiden Fällen ist $(h, k)$ der Mittelpunkt. Bei diesen achsenparallelen Standardformen zeigt der größere Nenner die Richtung der Hauptachse an.

Die wichtigsten Teile kannst du so ablesen:

• Mittelpunkt: $(h, k)$
• Große Halbachse: $a$
• Kleine Halbachse: $b$
• Richtung der Hauptachse: die Variable unter dem größeren Nenner

Die Brennpunkte liegen auf der Hauptachse, nicht an den Scheitelpunkten. Ihr Abstand vom Mittelpunkt ist $c$, wobei

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Damit lauten die Koordinaten der Brennpunkte:

• Waagerechte Hauptachse: $(h \pm c, k)$
• Senkrechte Hauptachse: $(h, k \pm c)$

Was Brennpunkte und Exzentrizität aussagen

Die Zahlen $a$ und $b$ geben an, wie weit sich die Ellipse in ihrer langen und kurzen Richtung ausdehnt. Der Wert $c$ gibt an, wie weit die Brennpunkte vom Mittelpunkt entfernt sind.

Liegen die Brennpunkte nahe am Mittelpunkt, wirkt die Ellipse runder. Liegen sie weiter auseinander, wirkt die Ellipse schmaler. Die Exzentrizität $e = c/a$ fasst diese Idee in einer einzigen Zahl zusammen.

Durchgerechnetes Beispiel: Graph von $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Beginne mit der Gleichung

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Weil $25 > 9$ ist, ist die Hauptachse waagerecht. Lies nun ab:

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Bestimme jetzt $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

also

$$c = 4$$

Die wichtigen Punkte sind also:

• Mittelpunkt: $(0, 0)$
• Scheitelpunkte: $(\pm 5, 0)$
• Nebenscheitelpunkte: $(0, \pm 3)$
• Brennpunkte: $(\pm 4, 0)$

Die Exzentrizität ist

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Um den Graphen zu skizzieren, trägst du zuerst den Mittelpunkt ein, dann die Scheitelpunkte und Nebenscheitelpunkte. Zeichne eine glatte Kurve durch diese vier Endpunkte. Da die Hauptachse waagerecht ist, sollte die Ellipse breiter als hoch sein.

So zeichnest du eine Ellipse Schritt für Schritt

Bringe die Gleichung zuerst in Standardform. Das ist wichtig, weil Abkürzungen wie „der größere Nenner gibt die Hauptachse an“ nur bei der achsenparallelen Standardform zuverlässig funktionieren.

Dann:

1. Bestimme den Mittelpunkt $(h, k)$.
2. Bestimme $a$ und $b$, mit $a > b > 0$ für eine nicht kreisförmige Ellipse.
3. Nutze den größeren Nenner, um die Richtung der Hauptachse zu bestimmen.
4. Markiere die Scheitelpunkte und Nebenscheitelpunkte vom Mittelpunkt aus.
5. Falls nötig, berechne $c$ aus $c^2 = a^2 - b^2$ und trage die Brennpunkte auf der Hauptachse ein.

Wenn die Ellipse bei $(h, k)$ statt im Ursprung zentriert ist, funktionieren dieselben Schritte, nachdem du jeden wichtigen Punkt um $(h, k)$ verschoben hast.

Häufige Fehler

$a$ und $b$ verwechseln

Bei einer nicht kreisförmigen Ellipse in Standardform ist $a$ die große Halbachse, also gilt $a > b$. Manchmal wird $a$ automatisch dem $x$-Term zugeordnet, aber das stimmt nur, wenn die Hauptachse waagerecht ist.

Die falsche Beziehung für die Brennpunkte verwenden

Für eine Ellipse gilt $c^2 = a^2 - b^2$, nicht $a^2 + b^2$. Das falsche Vorzeichen liefert falsche Brennpunkte und eine falsche Exzentrizität.

Scheitelpunkte mit Brennpunkten verwechseln

Die Scheitelpunkte sind die Endpunkte der Hauptachse. Die Brennpunkte liegen innerhalb der Ellipse, außer im Grenzfall des Kreises. Es sind also nicht dieselben Punkte.

Die Nenner-Regel zu oft anwenden

Der größere Nenner zeigt die Hauptachse nur dann an, wenn die Gleichung in achsenparalleler Standardform vorliegt. Eine gedrehte Ellipse lässt sich nicht direkt so ablesen.

Wo Ellipsen verwendet werden

Ellipsen kommen in der analytischen Geometrie und bei Kegelschnitten häufig vor, weil sie eine geometrische Definition mit einer Gleichung verbinden, die man zeichnen kann. Sie tauchen auch in physikalischen Modellen auf. Zum Beispiel sind in einem idealisierten Zweikörpermodell Umlaufbahnen Ellipsen, bei denen ein Brennpunkt im Zentralkörper liegt.

Im Unterricht verwendet man Ellipsen meist, um Kegelschnitte zu zeichnen, Brennpunkte und Exzentrizität zu bestimmen und zu vergleichen, wie sich die Form ändert, wenn sich $a$, $b$ und $e$ ändern.

Probiere als Nächstes eine verschobene Ellipse

Nimm

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

und bestimme Mittelpunkt, Scheitelpunkte, Brennpunkte und Exzentrizität, bevor du sie skizzierst. Wenn du noch eine Kontrolle möchtest, vergleiche deinen Graphen mit dem Beispiel oben und schau dir genau an, wie die Verschiebung die wichtigen Punkte verändert, ohne die Gesamtform zu ändern.