楕円 — 方程式・焦点・離心率・グラフ

楕円は、円を引き伸ばしたような形のグラフです。座標幾何では、まず標準形の方程式から楕円を見分け、そこから中心、長い半径方向と短い半径方向、焦点、離心率を読み取るのが一般的です。

幾何学的には、楕円は2つの固定された点までの距離の和が一定である点の集まりです。その固定された2点を 焦点 といいます。この定義から、グラフに中心があり、長い方向と短い方向がある理由がわかります。

原点を中心とし、長軸が水平方向にある円でない楕円の標準形は

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

です。

ここで $a$ は長半径、$b$ は短半径です。頂点は $(\pm a, 0)$、焦点は $(\pm c, 0)$ で、$c$ は

$$c^2 = a^2 - b^2$$

を満たします。

離心率は

$$e = \frac{c}{a}$$

です。

円でない楕円では、$0 < e < 1$ です。$e$ が小さいほど楕円は円に近くなります。$1$ に近いほど、より細長く引き伸ばされた形になります。

楕円の方程式の標準形

次の標準形は、楕円が回転しておらず座標軸に平行なので、最も読み取りやすい形です。

長軸が水平方向なら、

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

長軸が垂直方向なら、

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

です。

どちらの場合も、$(h, k)$ が中心です。これらの軸に平行な標準形では、分母が大きいほうが長軸の向きを表します。

重要な部分は次のように読み取れます。

• 中心: $(h, k)$
• 長半径: $a$
• 短半径: $b$
• 長軸の向き: 分母が大きいほうの変数の方向

焦点は頂点ではなく、長軸上にあります。中心から焦点までの距離は $c$ で、

$$c^2 = a^2 - b^2$$

です。

したがって、焦点の座標は次のようになります。

• 長軸が水平: $(h \pm c, k)$
• 長軸が垂直: $(h, k \pm c)$

焦点と離心率がわかること

$a$ と $b$ は、楕円が長い方向と短い方向にどれだけ広がっているかを表します。$c$ は、焦点が中心からどれだけ離れているかを表します。

焦点が中心に近いと、楕円はより丸く見えます。焦点同士が離れるほど、楕円は細長く見えます。離心率 $e = c/a$ は、その感覚を1つの数で表したものです。

例題: $x^2/25 + y^2/9 = 1$ をグラフにする

まず方程式

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

を見ます。

$25 > 9$ なので、長軸は水平方向です。ここから

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

と読み取れます。

次に $c$ を求めます。

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

したがって

$$c = 4$$

です。

よって、重要な点は次の通りです。

• 中心: $(0, 0)$
• 頂点: $(\pm 5, 0)$
• 短軸の端点: $(0, \pm 3)$
• 焦点: $(\pm 4, 0)$

離心率は

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

です。

グラフを描くときは、まず中心を打ち、次に頂点と短軸の端点を打ちます。その4つの端点を通るように、なめらかな曲線を描きます。長軸が水平方向なので、楕円は縦より横に広い形になります。

楕円を段階的にグラフにする方法

まず方程式を標準形に直します。これは重要です。というのも、「分母が大きいほうが長軸」という見方は、軸に平行な標準形でしかそのまま使えないからです。

そのうえで、次の手順で進めます。

1. 中心 $(h, k)$ を求める。
2. $a$ と $b$ を確認する。円でない楕円では $a > b > 0$。
3. 分母が大きいほうから長軸の向きを判断する。
4. 中心から頂点と短軸の端点を取る。
5. 必要なら $c^2 = a^2 - b^2$ から $c$ を求め、焦点を長軸上に置く。

楕円の中心が原点ではなく $(h, k)$ にある場合でも、すべての重要な点を $(h, k)$ だけ平行移動すれば、同じ手順で扱えます。

よくある間違い

$a$ と $b$ を取り違える

円でない楕円の標準形では、$a$ は長半径なので $a > b$ です。$a$ を自動的に $x$ の項に対応させてしまうことがありますが、それが成り立つのは長軸が水平方向のときだけです。

焦点の関係式を間違える

楕円では $c^2 = a^2 - b^2$ であり、$a^2 + b^2$ ではありません。符号を間違えると、焦点も離心率も誤ってしまいます。

頂点と焦点を混同する

頂点は長軸の両端の点です。焦点は、図形が円になる極限の場合を除けば、楕円の内部にあります。同じ点ではありません。

分母の大小だけで判断しすぎる

分母が大きいほうで長軸を判断できるのは、方程式が軸に平行な標準形になっている場合だけです。回転した楕円は、そのままでは同じように読めません。

楕円が使われる場面

楕円は、幾何学的な定義とグラフにできる方程式を結びつけるため、解析幾何や円錐曲線で広く扱われます。物理のモデルにも現れます。たとえば、理想化した2体問題では、軌道は中心天体を1つの焦点にもつ楕円になります。

授業では、楕円は主に円錐曲線のグラフを描くとき、焦点や離心率を求めるとき、そして $a$、$b$、$e$ の変化によって形がどう変わるかを比べるときに使います。

次は平行移動した楕円を試してみよう

次の式

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

について、グラフを描く前に中心、頂点、焦点、離心率を求めてみましょう。もう一度確認したいなら、上の例と比べて、平行移動によって重要な点がどう変わり、全体の形はどう変わらないかを見てみてください。