타원 — 방정식, 초점, 이심률과 그래프

타원은 늘어난 원처럼 생긴 그래프입니다. 좌표기하에서는 보통 표준형 방정식으로 타원을 확인한 뒤, 중심, 긴 반축과 짧은 반축, 초점, 이심률을 읽어 냅니다.

기하적으로 타원은 두 고정된 점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합입니다. 이 고정된 점들을 초점이라고 합니다. 이 정의는 왜 그래프에 중심이 있고, 더 긴 방향과 더 짧은 방향이 있는지를 설명해 줍니다.

원점 중심이고 장축이 수평인 원이 아닌 타원의 표준형은 다음과 같습니다.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

여기서 $a$는 장반축, $b$는 단반축입니다. 꼭짓점은 $(\pm a, 0)$이고, 초점은 $(\pm c, 0)$이며

$$c^2 = a^2 - b^2$$

를 만족합니다.

이심률은

$$e = \frac{c}{a}$$

입니다.

원이 아닌 타원에서는 $0 < e < 1$입니다. $e$가 작을수록 타원은 원에 더 가깝습니다. $1$에 가까울수록 더 길게 늘어난 모양입니다.

타원 방정식의 표준형

아래 표준형은 타원이 회전하지 않고 좌표축에 평행하므로 가장 빠르게 읽을 수 있습니다.

장축이 수평이면

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

장축이 수직이면

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

두 경우 모두 $(h, k)$는 중심입니다. 이런 축에 평행한 표준형에서는 더 큰 분모가 장축의 방향을 알려 줍니다.

핵심 요소는 다음처럼 읽을 수 있습니다.

• 중심: $(h, k)$
• 장반축: $a$
• 단반축: $b$
• 장축 방향: 더 큰 분모 아래에 있는 변수

초점은 꼭짓점이 아니라 장축 위에 있습니다. 중심에서 초점까지의 거리는 $c$이고,

$$c^2 = a^2 - b^2$$

를 만족합니다.

따라서 초점의 좌표는 다음과 같습니다.

• 장축이 수평: $(h \pm c, k)$
• 장축이 수직: $(h, k \pm c)$

초점과 이심률이 알려 주는 것

$a$와 $b$는 타원이 긴 방향과 짧은 방향으로 얼마나 뻗어 있는지를 알려 줍니다. $c$는 초점이 중심에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

초점이 중심에 가까우면 타원은 더 둥글게 보입니다. 초점이 더 멀리 떨어져 있으면 타원은 더 가늘고 길어 보입니다. 이심률 $e = c/a$는 이 생각을 하나의 수로 나타낸 것입니다.

예제: $x^2/25 + y^2/9 = 1$ 그래프 그리기

먼저 방정식은

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

입니다.

$25 > 9$이므로 장축은 수평입니다. 이제

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

를 읽을 수 있습니다.

이제 $c$를 구하면

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

이므로

$$c = 4$$

입니다.

따라서 중요한 점들은 다음과 같습니다.

• 중심: $(0, 0)$
• 꼭짓점: $(\pm 5, 0)$
• 공꼭짓점: $(0, \pm 3)$
• 초점: $(\pm 4, 0)$

이심률은

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

입니다.

그래프를 스케치할 때는 먼저 중심을 찍고, 그다음 꼭짓점과 공꼭짓점을 표시합니다. 그 네 끝점을 지나도록 매끄러운 곡선을 그리면 됩니다. 장축이 수평이므로 타원은 높이보다 너비가 더 넓어야 합니다.

타원 그래프를 단계별로 그리는 방법

먼저 방정식을 표준형으로 바꾸세요. "더 큰 분모가 장축을 뜻한다" 같은 요령은 축에 평행한 표준형에서만 깔끔하게 적용되기 때문에 이 조건이 중요합니다.

그다음:

1. 중심 $(h, k)$를 찾습니다.
2. 원이 아닌 타원에서는 $a > b > 0$이 되도록 $a$와 $b$를 정합니다.
3. 더 큰 분모를 보고 장축의 방향을 확인합니다.
4. 중심에서 꼭짓점과 공꼭짓점을 표시합니다.
5. 필요하면 $c^2 = a^2 - b^2$로 $c$를 구하고, 초점을 장축 위에 놓습니다.

타원의 중심이 원점이 아니라 $(h, k)$에 있어도 같은 과정을 쓰면 됩니다. 단지 모든 핵심 점을 $(h, k)$만큼 평행이동하면 됩니다.

자주 하는 실수

$a$와 $b$를 바꿔 쓰는 경우

원이 아닌 타원의 표준형에서는 $a$가 장반축이므로 $a > b$입니다. 학생들은 가끔 자동으로 $x$항에 $a$를 대응시키지만, 그것은 장축이 수평일 때만 맞습니다.

초점 관계식을 잘못 쓰는 경우

타원에서는 $c^2 = a^2 - b^2$이지, $a^2 + b^2$가 아닙니다. 부호를 잘못 쓰면 초점도 틀리고 이심률도 틀립니다.

꼭짓점과 초점을 혼동하는 경우

꼭짓점은 장축의 양 끝점입니다. 초점은 도형이 원이 되는 극한 경우가 아니라면 타원 내부에 있습니다. 둘은 같은 점이 아닙니다.

분모 비교 요령을 지나치게 믿는 경우

더 큰 분모로 장축을 찾는 방법은 방정식이 축에 평행한 표준형일 때만 가능합니다. 회전된 타원은 그런 식으로 바로 읽을 수 없습니다.

타원이 사용되는 경우

타원은 기하적 정의와 그래프로 그릴 수 있는 방정식을 연결해 주기 때문에 해석기하와 원뿔곡선 전반에 걸쳐 자주 등장합니다. 물리 모델에서도 나타납니다. 예를 들어 이상화된 2체 문제에서는 궤도가 중심 천체를 한 초점으로 하는 타원입니다.

수업에서는 보통 타원을 이용해 원뿔곡선을 그래프로 그리고, 초점과 이심률을 구하고, $a$, $b$, $e$가 변할 때 도형의 모양이 어떻게 달라지는지 비교합니다.

다음으로는 평행이동된 타원을 해보세요

다음을 보세요.

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

스케치하기 전에 중심, 꼭짓점, 초점, 이심률을 먼저 구해 보세요. 한 번 더 확인하고 싶다면 위 예제와 그래프를 비교하면서, 평행이동이 전체 모양은 바꾸지 않고 핵심 점들만 어떻게 바꾸는지 살펴보세요.