椭圆——方程、焦点、离心率与图像

椭圆的图像看起来像被拉伸后的圆。在解析几何中，你通常先从标准方程识别它，再读出中心、长短半轴、焦点和离心率。

从几何上看，椭圆是这样一组点：它们到两个定点的距离之和保持不变。这两个定点叫作焦点。这个定义解释了为什么椭圆有中心、较长的方向和较短的方向。

对于一个以原点为中心、长轴水平的非圆椭圆，标准方程是

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

这里，$a$ 是半长轴，$b$ 是半短轴。顶点是 $(\pm a, 0)$，焦点是 $(\pm c, 0)$，其中

$$c^2 = a^2 - b^2$$

离心率为

$$e = \frac{c}{a}$$

对于非圆椭圆，$0 < e < 1$。$e$ 越小，椭圆越接近圆；越接近 $1$，椭圆就越扁长。

椭圆的标准方程

下面这些标准形式最容易直接读图，因为椭圆与坐标轴平行，没有发生旋转。

如果长轴是水平的，

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

如果长轴是竖直的，

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

在这两种情况下，$(h, k)$ 都是中心。对于这种与坐标轴平行的标准形式，较大的分母决定长轴的方向。

你可以这样读出关键部分：

• 中心：$(h, k)$
• 半长轴：$a$
• 半短轴：$b$
• 长轴方向：较大分母下面对应的变量

焦点在长轴上，但不在顶点处。它们到中心的距离是 $c$，其中

$$c^2 = a^2 - b^2$$

所以焦点坐标为：

• 水平长轴：$(h \pm c, k)$
• 竖直长轴：$(h, k \pm c)$

焦点和离心率告诉了你什么

$a$ 和 $b$ 告诉你椭圆在长方向和短方向上分别延伸多远。$c$ 告诉你焦点离中心有多远。

如果焦点靠近中心，椭圆看起来更圆；如果焦点相距更远，椭圆看起来更狭长。离心率 $e = c/a$ 就把这种差别用一个数表示出来。

例题：作出 $x^2/25 + y^2/9 = 1$ 的图像

先看方程

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

因为 $25 > 9$，所以长轴是水平的。接着读出

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

再求 $c$：

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

所以

$$c = 4$$

因此，重要点有：

• 中心：$(0, 0)$
• 顶点：$(\pm 5, 0)$
• 短轴端点：$(0, \pm 3)$
• 焦点：$(\pm 4, 0)$

离心率为

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

画图时，先标出中心，再标出顶点和短轴端点。然后用一条平滑曲线连接这四个端点。因为长轴是水平的，所以椭圆应当看起来比它的高度更宽。

一步一步画椭圆

先把方程化成标准形式。这一点很重要，因为像“较大的分母对应长轴”这样的快捷判断，只在与坐标轴平行的标准式中才适用。

然后：

1. 找出中心 $(h, k)$。
2. 确定 $a$ 和 $b$，对于非圆椭圆有 $a > b > 0$。
3. 用较大的分母判断长轴方向。
4. 从中心出发，标出顶点和短轴端点。
5. 如果需要，用 $c^2 = a^2 - b^2$ 求出 $c$，并把焦点放在长轴上。

如果椭圆的中心是 $(h, k)$ 而不是原点，那么步骤完全一样，只是把每个关键点都按 $(h, k)$ 平移即可。

常见错误

把 $a$ 和 $b$ 搞混

对于标准式中的非圆椭圆，$a$ 是半长轴，所以 $a > b$。学生有时会默认把 $a$ 分配给 $x$ 项，但这只在长轴水平时才成立。

焦点关系式用错

对于椭圆，应该是 $c^2 = a^2 - b^2$，而不是 $a^2 + b^2$。符号错了，焦点和离心率都会算错。

把顶点和焦点混为一谈

顶点是长轴的两个端点。焦点位于椭圆内部，除非图形退化到圆的极限情形。它们不是同一个点。

过度依赖分母大小的快捷判断

只有当方程已经化成与坐标轴平行的标准形式时，较大的分母才能用来判断长轴。旋转后的椭圆不能直接这样读。

椭圆有什么用

椭圆在解析几何和圆锥曲线中经常出现，因为它把几何定义和可作图的方程联系了起来。它也会出现在物理模型中。例如，在理想化的二体模型里，轨道是椭圆，中心天体位于其中一个焦点上。

在课堂上，你最常用椭圆来画圆锥曲线、求焦点和离心率，并比较当 $a$、$b$ 和 $e$ 改变时，图形如何变化。

接着试一个平移后的椭圆

试着看

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

在画图之前，先求出它的中心、顶点、焦点和离心率。如果你还想再核对一次，就把你的图像和上面的例子比较一下，看看平移是如何改变关键点的位置，而不改变整体形状的。