ภาคตัดกรวย — วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

ภาคตัดกรวยคือเส้นโค้งที่เรียกว่า วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา ในเรขาคณิต เส้นโค้งเหล่านี้เกิดได้จากการใช้ระนาบตัดกรวยคู่ ในพีชคณิต ภาคตัดกรวยสำคัญเพราะสมการของมันบอกได้ทั้งรูปร่าง ตำแหน่งจุดศูนย์กลางหรือจุดยอด และคุณลักษณะสำคัญอื่น ๆ

ถ้าต้องการแบบสั้น ๆ ใช้นิยามเหล่านี้ได้เลย:

• วงกลมคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางจุดเดียวเท่ากันทุกจุด
• วงรีคือเซตของจุดที่ผลบวกระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่
• พาราโบลาคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากโฟกัสหนึ่งจุดและไดเรกทริกซ์หนึ่งเส้นเท่ากัน
• ไฮเพอร์โบลาคือเซตของจุดที่ผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่

ทำไมวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาจึงเป็นตระกูลเดียวกัน

คำว่า "conic" มาจากคำว่า cone หรือกรวย เมื่อระนาบตัดกรวยคู่ด้วยมุมที่ต่างกัน จุดตัดอาจให้เส้นโค้งต่างชนิดกันได้ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรี จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมบางเล่มจัดวงกลมไว้ในตระกูลวงรี และบางเล่มแยกออกมาต่างหาก

ยังมีมุมมองรวมอีกแบบหนึ่งผ่านโฟกัส ไดเรกทริกซ์ และค่าความเยื้องศูนย์ $e$:

• วงกลม: กรณีพิเศษของวงรีที่มี $e = 0$
• วงรี: $0 < e < 1$
• พาราโบลา: $e = 1$
• ไฮเพอร์โบลา: $e > 1$

คุณไม่จำเป็นต้องใช้ค่าความเยื้องศูนย์ในการทำโจทย์พื้นฐาน แต่แนวคิดนี้ช่วยอธิบายได้ว่าทำไมรูปทั้งสี่จึงอยู่ในตระกูลเดียวกัน ไม่ใช่หัวข้อที่แยกขาดจากกัน

วิธีระบุภาคตัดกรวยจากสมการ

ในโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ระดับเริ่มต้น เมื่อจัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว มักใช้สังเกตได้ดังนี้:

• วงกลม: มีพจน์กำลังสองทั้งสองตัวแปร และหลังปรับสเกลแล้วมีสัมประสิทธิ์เท่ากัน เช่น $x^2 + y^2 = 25$
• วงรี: มีพจน์กำลังสองทั้งสองตัวแปร เครื่องหมายเหมือนกัน และในรูปมาตรฐานมีสัมประสิทธิ์บวกแต่ไม่เท่ากัน เช่น $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
• พาราโบลา: ในรูปมาตรฐานตามแนวปกติ จะมีเพียงตัวแปรเดียวที่ถูกยกกำลังสอง เช่น $y = x^2$ หรือ $x = y^2$
• ไฮเพอร์โบลา: พจน์กำลังสองมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน เช่น $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$

ทางลัดนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อสมการถูกจัดรูปเรียบร้อยแล้วเท่านั้น ถ้าสมการยังขยายพจน์อยู่หรือกราฟมีการเลื่อนตำแหน่ง ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันและทำกำลังสองสมบูรณ์ก่อน

ตัวอย่างทำโจทย์ 1 ข้อ

จงจำแนกเส้นโค้ง

$$4x^2 + 9y^2 = 36$$

เริ่มจากหารทั้งสองข้างด้วย $36$:

$$\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1$$

ซึ่งย่อได้เป็น

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

ตอนนี้รูปแบบชัดเจนแล้ว:

• มีพจน์กำลังสองทั้งสองพจน์
• ทั้งคู่มีเครื่องหมายบวก
• ตัวส่วนไม่เท่ากัน

ดังนั้นนี่คือวงรี ไม่ใช่วงกลม จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด กึ่งแกนตามแนวนอนยาว $3$ และกึ่งแกนตามแนวตั้งยาว $2$

นี่คือวิธีหลักที่ใช้ในโจทย์ภาคตัดกรวยจำนวนมาก จัดรูปก่อน แล้วค่อยจำแนกทีหลัง

ความหมายของภาคตัดกรวยแต่ละชนิด

วงกลม

วงกลมคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะคงที่ ในรูปมาตรฐาน

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

จุดศูนย์กลางคือ $(h,k)$ และรัศมีคือ $r$ โดยมีเงื่อนไขว่า $r \ge 0$

วงรี

วงรีคือเซตของจุดทั้งหมดที่ผลบวกระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดซึ่งเรียกว่าโฟกัส มีค่าคงที่ ในตำแหน่งมาตรฐาน รูปแบบที่พบบ่อยคือ

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

โดยที่ $a > 0$ และ $b > 0$ รูปร่างของมันดูคล้ายวงกลมที่ถูกยืดออก แต่แนวคิดเรขาคณิตที่สำคัญจริง ๆ คือคำนิยามแบบสองโฟกัส

พาราโบลา

พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากโฟกัสและไดเรกทริกซ์เท่ากัน รูปมาตรฐานที่พบบ่อยคือ

$$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$

และแบบที่เปิดด้านข้างคือ

$$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$

ค่า $p$ กำหนดว่าโฟกัสอยู่ห่างจากจุดยอดเท่าใด และกราฟเปิดไปทางไหน

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลาคือเซตของจุดทั้งหมดที่ผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางไปยังโฟกัสสองจุดยังคงมีค่าคงที่ ในตำแหน่งมาตรฐาน รูปแบบหนึ่งคือ

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

เส้นโค้งสองแขนและเส้นกำกับเข้าใกล้ของมันเกิดจากเงื่อนไขเรื่องระยะทางนี้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับภาคตัดกรวย

คิดว่ากราฟกำลังสองทุกอันเป็นพาราโบลา

พาราโบลาเป็นเพียงภาคตัดกรวยชนิดหนึ่งเท่านั้น ถ้าในสมการมีทั้ง $x^2$ และ $y^2$ คุณควรหยุดก่อน แล้วตรวจสอบว่ากราฟจริง ๆ เป็นวงกลม วงรี หรือไฮเพอร์โบลา

รีบจำแนกเร็วเกินไป

สมการที่ยังขยายพจน์อยู่สามารถซ่อนรูปร่างจริงไว้ได้ ตัวอย่างเช่น วงกลมอาจยังดูไม่เหมือนวงกลมจนกว่าจะทำกำลังสองสมบูรณ์ การจำแนกจะปลอดภัยกว่ามากหลังจากจัดรูปใหม่แล้ว

ลืมว่าวงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรี

ในโจทย์ระดับโรงเรียนหลายข้อ มักแยกวงกลมออกมาต่างหากเพราะเป็นรูปที่ง่ายและพบบ่อย วิธีนี้มีประโยชน์ แต่ในเชิงเรขาคณิต วงกลมก็ยังอยู่ในตระกูลภาคตัดกรวย

สับสนคำนิยามที่เกี่ยวกับโฟกัส

วงรีใช้ผลบวกระยะทาง ไฮเพอร์โบลาใช้ผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทาง ส่วนพาราโบลาเปรียบเทียบระยะทางถึงโฟกัสกับระยะทางถึงไดเรกทริกซ์ ไม่ใช่กับโฟกัสอีกจุดหนึ่ง

ภาคตัดกรวยถูกใช้ที่ไหนบ้าง

ภาคตัดกรวยปรากฏขึ้นเมื่อเรขาคณิตขึ้นอยู่กับกฎเรื่องระยะทางหรือสมการดีกรีสอง วงกลมพบได้ในเรขาคณิตพื้นฐานและความสมมาตร วงรีพบในแบบจำลองวงโคจรเชิงอุดมคติ พาราโบลาพบในเรขาคณิตการสะท้อนและแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบวิถีโค้งเมื่อไม่คิดแรงต้านอากาศ ส่วนไฮเพอร์โบลาพบในแบบจำลองการนำทางและการหาตำแหน่งสัญญาณบางชนิดที่อาศัยความต่างของระยะทางหรือเวลาที่สัญญาณมาถึง

แม้ว่าคุณอาจไม่ได้กลับไปใช้ภาพการตัดกรวยอีก ภาคตัดกรวยก็ยังสำคัญ เพราะมันฝึกให้คุณเชื่อมสมการกับรูปร่าง และเชื่อมรูปร่างกับกฎทางเรขาคณิต

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

พิจารณาสมการ

$$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$$

แล้วจัดรูปใหม่ด้วยการทำกำลังสองสมบูรณ์ก่อนค่อยจำแนกชนิด นี่เป็นขั้นต่อไปที่ดี เพราะบังคับให้คุณใช้ทักษะหลักที่ทำให้เรื่องภาคตัดกรวยง่ายขึ้นมาก นั่นคือ อย่าเดาจากสมการดิบ ถ้ายังสามารถจัดให้อยู่ในรูปที่ชัดเจนกว่าได้