ไฮเพอร์โบลา - สมการ เส้นกำกับแนวเข้าใกล้ และสมบัติ

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งที่มีสองแขนเปิด ในเรขาคณิตวิเคราะห์ วิธีสังเกตที่เร็วที่สุดคือสมการมาตรฐานของมันจะมีพจน์กำลังสองหนึ่งพจน์ลบออกจากอีกพจน์หนึ่ง

สำหรับไฮเพอร์โบลาที่มีแกนขนานกับแกนพิกัดและมีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ รูปแบบมาตรฐานที่พบบ่อยมีสองแบบคือ

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

และ

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

แบบแรกเปิดไปทางซ้ายและขวา ส่วนแบบที่สองเปิดขึ้นและลง

หลักการอ่านแบบเร็วคือ จุดศูนย์กลางมาจาก $(h, k)$ พจน์ที่เป็นบวกบอกทิศทางการเปิด และเส้นกำกับแนวเข้าใกล้บอกทิศทางที่แขนของกราฟจะเข้าใกล้

ไฮเพอร์โบลาคืออะไร

ในเชิงเรขาคณิต ไฮเพอร์โบลานิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดที่ผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางจากจุดคงที่สองจุด ซึ่งเรียกว่าโฟกัส มีค่าคงที่

นิยามนี้อธิบายได้ว่าทำไมกราฟจึงมีสองแขนแทนที่จะเป็นเส้นโค้งปิดเส้นเดียว อย่างไรก็ตาม ในโจทย์พีชคณิตและพรีแคลคูลัสส่วนใหญ่ คุณมักเริ่มจากสมการ เพราะช่วยให้อ่านกราฟได้เร็วกว่า

วิธีอ่านสมการไฮเพอร์โบลา

ถ้าสมการคือ

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

สำหรับไฮเพอร์โบลาที่มีแกนขนานกับแกนพิกัด จะได้ข้อมูลดังนี้:

• จุดศูนย์กลาง: $(h, k)$
• ทิศทางการเปิด: ซ้าย-ขวา
• จุดยอด: $(h \pm a, k)$
• เส้นกำกับแนวเข้าใกล้: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

ถ้าสมการคือ

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

จะได้ว่า:

• จุดศูนย์กลาง: $(h, k)$
• ทิศทางการเปิด: ขึ้น-ลง
• จุดยอด: $(h, k \pm a)$
• เส้นกำกับแนวเข้าใกล้: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

สำหรับรูปแบบมาตรฐานที่มีแกนขนานกับแกนพิกัดเดียวกันนี้ โฟกัสจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมากกว่าจุดยอด และระยะต่าง ๆ เป็นไปตามความสัมพันธ์

$$c^2 = a^2 + b^2$$

ใช้สูตรเหล่านี้เฉพาะกับไฮเพอร์โบลาที่มีแกนขนานกับแกนพิกัดและอยู่ในรูปมาตรฐานเท่านั้น ถ้าสมการมีพจน์เพิ่มเติมหรือมีการหมุนกราฟ คุณต้องจัดรูปเพิ่มก่อนจึงจะอ่านกราฟแบบนี้ได้

เส้นกำกับแนวเข้าใกล้บอกอะไร

เส้นกำกับแนวเข้าใกล้คือเส้นตรงที่ช่วยกำหนดแนวของแขนกราฟ ไม่ใช่องค์ประกอบเสริมที่ใส่มาแบบสุ่ม แต่เป็นตัวบอกทิศทางของกราฟเมื่อมองในระยะไกล

ใกล้จุดศูนย์กลาง เส้นโค้งจะโค้งออกห่างจากเส้นกำกับแนวเข้าใกล้ แต่เมื่ออยู่ไกลจากจุดศูนย์กลางมากขึ้น แขนแต่ละข้างจะเข้าใกล้เส้นเหล่านี้มากขึ้นเรื่อย ๆ นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมเส้นกำกับแนวเข้าใกล้จึงช่วยให้ร่างกราฟไฮเพอร์โบลาได้แม่นยำอย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างทำโจทย์: อ่านกราฟจากสมการ

พิจารณา

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐานแนวนอน ดังนั้นไฮเพอร์โบลาจึงเปิดไปทางซ้ายและขวา

จุดศูนย์กลางคือ $(2, -1)$ เพราะ $(x - 2)$ เลื่อนไปทางขวา $2$ และ $(y + 1)$ เลื่อนลง $1$

จากส่วน จะได้ว่า

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

และ

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

ดังนั้นจุดยอดคือ

$$(2 \pm 4, -1)$$

ซึ่งได้เป็น

$$(6, -1) \text{ and } (-2, -1)$$

เส้นกำกับแนวเข้าใกล้ใช้ความชัน $\pm b/a = \pm 3/4$ และผ่านจุดศูนย์กลาง:

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

ถ้าต้องการหาโฟกัสด้วย ให้ใช้ $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

ดังนั้นโฟกัสคือ

$$(2 \pm 5, -1)$$

หรือ $(7, -1)$ และ $(-3, -1)$

เท่านี้ก็ได้ภาพร่างครบแล้ว: พล็อตจุดศูนย์กลาง ทำเครื่องหมายจุดยอด วาดเส้นกำกับแนวเข้าใกล้ผ่านจุดศูนย์กลาง แล้ววาดแขนสองข้างให้เคลื่อนออกจากจุดศูนย์กลางพร้อมเข้าใกล้เส้นเหล่านั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับไฮเพอร์โบลา

1. ลืมว่าไฮเพอร์โบลามีการลบกันในรูปมาตรฐาน ถ้าพจน์กำลังสองเป็นการบวกกัน แสดงว่าคุณกำลังดูวงรี ไม่ใช่ไฮเพอร์โบลา
2. สลับ $a^2$ กับ $b^2$ ในรูปมาตรฐานเหล่านี้ $a^2$ จะอยู่กับพจน์ที่เป็นบวก
3. ใช้ความชันของเส้นกำกับแนวเข้าใกล้ผิด สำหรับไฮเพอร์โบลาแนวนอน ความชันคือ $\pm b/a$ ส่วนแนวตั้งคือ $\pm a/b$
4. อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางผิด พจน์อย่าง $(x + 2)^2$ หมายความว่าพิกัด $x$ ของจุดศูนย์กลางคือ $-2$

ไฮเพอร์โบลานำไปใช้ที่ไหน

คุณจะพบไฮเพอร์โบลาในเรื่องภาคตัดกรวย เรขาคณิตวิเคราะห์ และการสร้างแบบจำลองด้วยพิกัด นอกจากนี้ยังปรากฏในปัญหาที่นิยามด้วยผลต่างคงที่ของระยะทางจากจุดคงที่สองจุด

สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ การใช้งานจริงจะง่ายกว่านั้นมาก: ถ้าคุณระบุจุดศูนย์กลาง ทิศทางการเปิด จุดยอด และเส้นกำกับแนวเข้าใกล้ได้ คุณก็จะเขียนกราฟรูปมาตรฐานได้อย่างรวดเร็วและหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการสอบ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองร่างกราฟของ

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

เริ่มจากหาจุดศูนย์กลางและตัดสินใจก่อนว่าแขนของกราฟเปิดขึ้น-ลง หรือซ้าย-ขวา จากนั้นเขียนจุดยอดและเส้นกำกับแนวเข้าใกล้ ถ้าต้องการฝึกต่ออีกขั้น ลองศึกษาเส้นโค้งภาคตัดกรวยแบบอื่น แล้วเปรียบเทียบว่าไฮเพอร์โบลาต่างจากวงรีอย่างไร