Elips — Persamaan, Fokus, Eksentrisitas & Grafik

Elips adalah grafik yang bentuknya seperti lingkaran yang diregangkan. Dalam geometri koordinat, Anda biasanya mengenalinya dari persamaan baku, lalu menentukan pusat, setengah sumbu panjang dan pendek, fokus, serta eksentrisitasnya.

Secara geometri, elips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap bernilai konstan. Dua titik tetap itu disebut fokus. Definisi ini menjelaskan mengapa grafik elips memiliki pusat, arah yang lebih panjang, dan arah yang lebih pendek.

Untuk elips non-lingkaran yang berpusat di titik asal dengan sumbu mayor horizontal, bentuk bakunya adalah

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Di sini $a$ adalah semi-sumbu mayor dan $b$ adalah semi-sumbu minor. Titik puncaknya adalah $(\pm a, 0)$, dan fokusnya adalah $(\pm c, 0)$, dengan

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Eksentrisitasnya adalah

$$e = \frac{c}{a}$$

Untuk elips non-lingkaran, $0 < e < 1$. Nilai $e$ yang lebih kecil berarti elips lebih mendekati lingkaran. Nilai yang lebih dekat ke $1$ berarti bentuknya lebih lonjong.

Persamaan elips dalam bentuk baku

Bentuk baku di bawah ini paling cepat dibaca karena elips sejajar sumbu, bukan diputar.

Jika sumbu mayor horizontal,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Jika sumbu mayor vertikal,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Dalam kedua kasus, $(h, k)$ adalah pusat. Untuk bentuk baku yang sejajar sumbu ini, penyebut yang lebih besar menunjukkan arah sumbu mayor.

Anda dapat membaca bagian-bagian pentingnya seperti ini:

• Pusat: $(h, k)$
• Semi-sumbu mayor: $a$
• Semi-sumbu minor: $b$
• Arah sumbu mayor: variabel di bawah penyebut yang lebih besar

Fokus terletak pada sumbu mayor, bukan di titik puncak. Jaraknya dari pusat adalah $c$, dengan

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Jadi koordinat fokus adalah:

• Sumbu mayor horizontal: $(h \pm c, k)$
• Sumbu mayor vertikal: $(h, k \pm c)$

Apa yang ditunjukkan fokus dan eksentrisitas

Bilangan $a$ dan $b$ menunjukkan seberapa jauh elips memanjang pada arah panjang dan pendeknya. Nilai $c$ menunjukkan seberapa jauh fokus berada dari pusat.

Jika fokus dekat dengan pusat, elips tampak lebih bulat. Jika keduanya lebih berjauhan, elips tampak lebih sempit. Eksentrisitas, $e = c/a$, mengubah gagasan itu menjadi satu bilangan.

Contoh soal: gambar grafik $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Mulailah dari persamaan

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Karena $25 > 9$, sumbu mayor bersifat horizontal. Sekarang tentukan

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Sekarang cari $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

sehingga

$$c = 4$$

Jadi titik-titik pentingnya adalah:

• Pusat: $(0, 0)$
• Titik puncak: $(\pm 5, 0)$
• Titik puncak minor: $(0, \pm 3)$
• Fokus: $(\pm 4, 0)$

Eksentrisitasnya adalah

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Untuk membuat sketsa grafik, plot pusat terlebih dahulu, lalu titik puncak dan titik puncak minor. Gambar kurva halus melalui keempat titik ujung tersebut. Karena sumbu mayor horizontal, elips harus lebih lebar daripada tingginya.

Cara menggambar elips langkah demi langkah

Ubah persamaan ke bentuk baku terlebih dahulu. Syarat ini penting karena jalan pintas seperti "penyebut yang lebih besar menunjukkan sumbu mayor" hanya bekerja dengan jelas untuk bentuk baku yang sejajar sumbu.

Lalu:

1. Tentukan pusat $(h, k)$.
2. Tentukan $a$ dan $b$, dengan $a > b > 0$ untuk elips non-lingkaran.
3. Gunakan penyebut yang lebih besar untuk menentukan arah sumbu mayor.
4. Tandai titik puncak dan titik puncak minor dari pusat.
5. Jika perlu, hitung $c$ dari $c^2 = a^2 - b^2$ lalu letakkan fokus pada sumbu mayor.

Jika elips berpusat di $(h, k)$, bukan di titik asal, langkah yang sama tetap berlaku setelah menggeser setiap titik penting sebesar $(h, k)$.

Kesalahan yang sering terjadi

Tertukar antara $a$ dan $b$

Untuk elips non-lingkaran dalam bentuk baku, $a$ adalah semi-sumbu mayor, sehingga $a > b$. Siswa kadang langsung menganggap $a$ selalu milik suku $x$, padahal itu hanya benar jika sumbu mayor horizontal.

Menggunakan hubungan yang salah untuk fokus

Untuk elips, berlaku $c^2 = a^2 - b^2$, bukan $a^2 + b^2$. Tanda yang salah akan menghasilkan fokus dan eksentrisitas yang salah.

Mengira titik puncak sama dengan fokus

Titik puncak adalah titik ujung sumbu mayor. Fokus berada di dalam elips kecuali bentuknya mencapai batas lingkaran. Keduanya bukan titik yang sama.

Terlalu mengandalkan jalan pintas penyebut

Penyebut yang lebih besar hanya menunjukkan sumbu mayor setelah persamaan berada dalam bentuk baku yang sejajar sumbu. Elips yang diputar tidak bisa dibaca langsung dengan cara itu.

Kapan elips digunakan

Elips muncul di seluruh geometri analitik dan irisan kerucut karena menghubungkan definisi geometri dengan persamaan yang bisa Anda gambar. Elips juga muncul dalam model fisika. Misalnya, dalam model dua benda yang diidealkan, lintasan orbit berbentuk elips dengan salah satu fokus berada di benda pusat.

Di kelas, elips paling sering digunakan untuk menggambar irisan kerucut, mencari fokus dan eksentrisitas, serta membandingkan bagaimana bentuknya berubah saat $a$, $b$, dan $e$ berubah.

Coba elips yang bergeser berikutnya

Ambil

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

lalu tentukan pusat, titik puncak, fokus, dan eksentrisitasnya sebelum Anda membuat sketsanya. Jika ingin satu pemeriksaan lagi, bandingkan grafik Anda dengan contoh di atas dan lihat tepat bagaimana pergeseran itu mengubah titik-titik penting tanpa mengubah bentuk keseluruhannya.