Elipsa — równanie, ogniska, mimośród i wykres

Elipsa to wykres w kształcie rozciągniętego okręgu. W geometrii analitycznej zwykle rozpoznajesz ją po standardowym równaniu, a następnie odczytujesz środek, dłuższą i krótszą półoś, ogniska oraz mimośród.

Geometrycznie elipsa jest zbiorem punktów, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stała. Te ustalone punkty to ogniska. Ta definicja wyjaśnia, dlaczego wykres ma środek, dłuższy kierunek i krótszy kierunek.

Dla elipsy niebędącej okręgiem, o środku w początku układu i poziomej osi głównej, postać standardowa to

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Tutaj $a$ jest półosią wielką, a $b$ półosią małą. Wierzchołki mają współrzędne $(\pm a, 0)$, a ogniska $(\pm c, 0)$, gdzie

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Mimośród wynosi

$$e = \frac{c}{a}$$

Dla elipsy niebędącej okręgiem zachodzi $0 < e < 1$. Mniejsze wartości $e$ oznaczają, że elipsa jest bliższa okręgowi. Wartości bliższe $1$ oznaczają, że jest bardziej wydłużona.

Równanie elipsy w postaci standardowej

Poniższe postacie standardowe są najszybsze do odczytania, ponieważ elipsa nie jest obrócona, a jej osie są równoległe do osi układu.

Jeśli oś główna jest pozioma,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Jeśli oś główna jest pionowa,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

W obu przypadkach $(h, k)$ jest środkiem. Dla tych standardowych postaci o osiach równoległych do osi układu większy mianownik wskazuje kierunek osi głównej.

Najważniejsze elementy możesz odczytać tak:

• Środek: $(h, k)$
• Półoś wielka: $a$
• Półoś mała: $b$
• Kierunek osi głównej: zmienna przy większym mianowniku

Ogniska leżą na osi głównej, a nie w wierzchołkach. Ich odległość od środka wynosi $c$, gdzie

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Zatem współrzędne ognisk to:

• Pozioma oś główna: $(h \pm c, k)$
• Pionowa oś główna: $(h, k \pm c)$

Co mówią ogniska i mimośród

Liczby $a$ i $b$ mówią, jak daleko elipsa sięga w dłuższym i krótszym kierunku. Wartość $c$ mówi, jak daleko od środka znajdują się ogniska.

Jeśli ogniska są blisko środka, elipsa wygląda bardziej jak okrąg. Jeśli są dalej od siebie, elipsa wygląda na węższą. Mimośród, $e = c/a$, zamienia tę intuicję w jedną liczbę.

Przykład: wykres $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Zacznij od równania

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Ponieważ $25 > 9$, oś główna jest pozioma. Teraz odczytujemy

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Teraz wyznacz $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

czyli

$$c = 4$$

Zatem ważne punkty to:

• Środek: $(0, 0)$
• Wierzchołki: $(\pm 5, 0)$
• Współwierzchołki: $(0, \pm 3)$
• Ogniska: $(\pm 4, 0)$

Mimośród wynosi

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Aby naszkicować wykres, najpierw zaznacz środek, potem wierzchołki i współwierzchołki. Narysuj gładką krzywą przechodzącą przez te cztery punkty końcowe. Ponieważ oś główna jest pozioma, elipsa powinna być szersza niż wyższa.

Jak narysować elipsę krok po kroku

Najpierw przekształć równanie do postaci standardowej. To ważne, ponieważ skróty takie jak „większy mianownik wyznacza oś główną” działają poprawnie tylko dla standardowej postaci elipsy o osiach równoległych do osi układu.

Następnie:

1. Wyznacz środek $(h, k)$.
2. Określ $a$ i $b$, przy czym dla elipsy niebędącej okręgiem zachodzi $a > b > 0$.
3. Użyj większego mianownika, aby określić kierunek osi głównej.
4. Zaznacz wierzchołki i współwierzchołki względem środka.
5. W razie potrzeby oblicz $c$ z zależności $c^2 = a^2 - b^2$ i zaznacz ogniska na osi głównej.

Jeśli elipsa ma środek w punkcie $(h, k)$ zamiast w początku układu, te same kroki działają po przesunięciu każdego ważnego punktu o $(h, k)$.

Typowe błędy

Mylenie $a$ i $b$

Dla elipsy niebędącej okręgiem w postaci standardowej $a$ jest półosią wielką, więc $a > b$. Uczniowie czasem automatycznie przypisują $a$ do wyrażenia z $x$, ale jest to prawdą tylko wtedy, gdy oś główna jest pozioma.

Użycie złej zależności dla ognisk

Dla elipsy zachodzi $c^2 = a^2 - b^2$, a nie $a^2 + b^2$. Zły znak daje błędne ogniska i błędny mimośród.

Mylenie wierzchołków z ogniskami

Wierzchołki są końcami osi głównej. Ogniska leżą wewnątrz elipsy, chyba że figura przechodzi w graniczny przypadek okręgu. To nie są te same punkty.

Nadużywanie skrótu z mianownikiem

Większy mianownik wskazuje oś główną dopiero wtedy, gdy równanie jest zapisane w standardowej postaci o osiach równoległych do osi układu. Elipsy obróconej nie da się tak odczytać bezpośrednio.

Gdzie wykorzystuje się elipsy

Elipsy pojawiają się w całej geometrii analitycznej i wśród krzywych stożkowych, ponieważ łączą definicję geometryczną z równaniem, które można narysować. Występują też w modelach fizycznych. Na przykład w idealizowanym modelu dwóch ciał orbity są elipsami, a jedno z ognisk znajduje się w ciele centralnym.

Na lekcjach najczęściej używa się elips do rysowania krzywych stożkowych, wyznaczania ognisk i mimośrodu oraz porównywania, jak zmienia się kształt wraz ze zmianą $a$, $b$ i $e$.

Spróbuj teraz elipsy przesuniętej

Weź

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

i wyznacz środek, wierzchołki, ogniska oraz mimośród, zanim wykonasz szkic. Jeśli chcesz jeszcze raz sprawdzić wynik, porównaj swój wykres z przykładem powyżej i zobacz dokładnie, jak przesunięcie zmienia ważne punkty bez zmiany ogólnego kształtu.