Ellisse — Equazione, Fuochi, Eccentricità e Grafico

Un’ellisse è una curva che ha la forma di un cerchio allungato. In geometria analitica, di solito la riconosci da un’equazione standard e poi ne ricavi il centro, il semiasse maggiore e quello minore, i fuochi e l’eccentricità.

Dal punto di vista geometrico, un’ellisse è l’insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi è costante. Questi punti fissi sono i fuochi. Questa definizione spiega perché il grafico ha un centro, una direzione più lunga e una più corta.

Per un’ellisse non circolare centrata nell’origine con asse maggiore orizzontale, l’equazione standard è

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Qui $a$ è il semiasse maggiore e $b$ è il semiasse minore. I vertici sono $(\pm a, 0)$, e i fuochi sono $(\pm c, 0)$, dove

$$c^2 = a^2 - b^2$$

L’eccentricità è

$$e = \frac{c}{a}$$

Per un’ellisse non circolare, $0 < e < 1$. Valori più piccoli di $e$ significano che l’ellisse è più vicina a un cerchio. Valori più vicini a $1$ significano che è più allungata.

Equazione dell’ellisse in forma standard

Le forme standard qui sotto sono le più rapide da leggere perché l’ellisse ha gli assi paralleli agli assi cartesiani, quindi non è ruotata.

Se l’asse maggiore è orizzontale,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Se l’asse maggiore è verticale,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

In entrambi i casi, $(h, k)$ è il centro. Per queste forme standard con assi paralleli agli assi cartesiani, il denominatore più grande indica la direzione dell’asse maggiore.

Puoi leggere gli elementi principali così:

• Centro: $(h, k)$
• Semiasse maggiore: $a$
• Semiasse minore: $b$
• Direzione dell’asse maggiore: la variabile sotto il denominatore più grande

I fuochi si trovano sull’asse maggiore, non nei vertici. La loro distanza dal centro è $c$, dove

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Quindi le coordinate dei fuochi sono:

• Asse maggiore orizzontale: $(h \pm c, k)$
• Asse maggiore verticale: $(h, k \pm c)$

Cosa ti dicono i fuochi e l’eccentricità

I numeri $a$ e $b$ indicano quanto l’ellisse si estende nelle direzioni lunga e corta. Il valore $c$ indica quanto i fuochi sono lontani dal centro.

Se i fuochi sono vicini al centro, l’ellisse appare più tondeggiante. Se sono più distanti tra loro, l’ellisse appare più stretta. L’eccentricità, $e = c/a$, riassume questa idea in un solo numero.

Esempio svolto: grafico di $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Parti dall’equazione

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Poiché $25 > 9$, l’asse maggiore è orizzontale. Ora ricava

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Ora trova $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

quindi

$$c = 4$$

Quindi i punti importanti sono:

• Centro: $(0, 0)$
• Vertici: $(\pm 5, 0)$
• Covertici: $(0, \pm 3)$
• Fuochi: $(\pm 4, 0)$

L’eccentricità è

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Per abbozzare il grafico, segna prima il centro, poi i vertici e i covertici. Disegna una curva regolare che passi per questi quattro estremi. Poiché l’asse maggiore è orizzontale, l’ellisse deve essere più larga che alta.

Come disegnare un’ellisse passo dopo passo

Per prima cosa, porta l’equazione in forma standard. Questa condizione è importante perché scorciatoie come “il denominatore più grande indica l’asse maggiore” funzionano bene solo nella forma standard con assi paralleli agli assi cartesiani.

Poi:

1. Trova il centro $(h, k)$.
2. Individua $a$ e $b$, con $a > b > 0$ per un’ellisse non circolare.
3. Usa il denominatore più grande per individuare la direzione dell’asse maggiore.
4. Segna i vertici e i covertici a partire dal centro.
5. Se serve, calcola $c$ da $c^2 = a^2 - b^2$ e colloca i fuochi sull’asse maggiore.

Se l’ellisse è centrata in $(h, k)$ invece che nell’origine, gli stessi passaggi funzionano dopo aver traslato ogni punto notevole di $(h, k)$.

Errori comuni

Confondere $a$ e $b$

Per un’ellisse non circolare in forma standard, $a$ è il semiasse maggiore, quindi $a > b$. A volte gli studenti associano automaticamente $a$ al termine con $x$, ma questo è vero solo quando l’asse maggiore è orizzontale.

Usare la relazione sbagliata per i fuochi

Per un’ellisse, $c^2 = a^2 - b^2$, non $a^2 + b^2$. Il segno sbagliato porta a fuochi sbagliati e a un’eccentricità sbagliata.

Confondere vertici e fuochi

I vertici sono gli estremi dell’asse maggiore. I fuochi si trovano all’interno dell’ellisse, a meno che la figura non diventi il caso limite del cerchio. Non sono gli stessi punti.

Usare troppo la scorciatoia del denominatore

Il denominatore più grande individua l’asse maggiore solo dopo che l’equazione è stata scritta nella forma standard con assi paralleli agli assi cartesiani. Un’ellisse ruotata non si legge direttamente in questo modo.

Quando si usano le ellissi

Le ellissi compaiono spesso nella geometria analitica e nelle sezioni coniche perché collegano una definizione geometrica a un’equazione che puoi rappresentare graficamente. Compaiono anche in modelli di fisica. Per esempio, nel modello idealizzato a due corpi, le orbite sono ellissi con uno dei fuochi nel corpo centrale.

A lezione, di solito usi le ellissi per disegnare coniche, trovare fuochi ed eccentricità e confrontare come cambia la forma al variare di $a$, $b$ ed $e$.

Prova ora con un’ellisse traslata

Considera

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

e trova il centro, i vertici, i fuochi e l’eccentricità prima di disegnarla. Se vuoi un’ulteriore verifica, confronta il tuo grafico con l’esempio precedente e osserva esattamente come la traslazione cambia i punti notevoli senza modificare la forma complessiva.