Elipse — Ecuación, focos, excentricidad y gráfica

Una elipse es una gráfica con forma de círculo estirado. En geometría analítica, normalmente la identificas a partir de una ecuación estándar y luego lees el centro, los semiejes mayor y menor, los focos y la excentricidad.

Geométricamente, una elipse es el conjunto de puntos cuyas distancias a dos puntos fijos suman una constante. Esos puntos fijos son los focos. Esta definición explica por qué la gráfica tiene un centro, una dirección más larga y otra más corta.

Para una elipse no circular centrada en el origen con eje mayor horizontal, la ecuación estándar es

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Aquí $a$ es el semieje mayor y $b$ es el semieje menor. Los vértices son $(\pm a, 0)$, y los focos son $(\pm c, 0)$, donde

$$c^2 = a^2 - b^2$$

La excentricidad es

$$e = \frac{c}{a}$$

Para una elipse no circular, $0 < e < 1$. Los valores más pequeños de $e$ significan que la elipse se parece más a un círculo. Los valores más cercanos a $1$ significan que está más alargada.

Ecuación de la elipse en forma estándar

Las formas estándar de abajo son las más rápidas de leer porque la elipse está alineada con los ejes, no rotada.

Si el eje mayor es horizontal,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

Si el eje mayor es vertical,

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1, \qquad a > b > 0$$

En ambos casos, $(h, k)$ es el centro. Para estas formas estándar alineadas con los ejes, el denominador mayor te indica la dirección del eje mayor.

Puedes leer las partes principales así:

• Centro: $(h, k)$
• Semieje mayor: $a$
• Semieje menor: $b$
• Dirección del eje mayor: la variable que está bajo el denominador mayor

Los focos están sobre el eje mayor, no en los vértices. Su distancia al centro es $c$, donde

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Entonces las coordenadas de los focos son:

• Eje mayor horizontal: $(h \pm c, k)$
• Eje mayor vertical: $(h, k \pm c)$

Qué te dicen los focos y la excentricidad

Los números $a$ y $b$ te dicen hasta dónde se extiende la elipse en sus direcciones larga y corta. El valor $c$ te dice qué tan lejos están los focos del centro.

Si los focos están cerca del centro, la elipse se ve más redonda. Si están más separados, la elipse se ve más estrecha. La excentricidad, $e = c/a$, convierte esa idea en un solo número.

Ejemplo resuelto: graficar $x^2/25 + y^2/9 = 1$

Empieza con la ecuación

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Como $25 > 9$, el eje mayor es horizontal. Ahora lee

$$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5, \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

Ahora encuentra $c$:

$$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$$

así que

$$c = 4$$

Entonces los puntos importantes son:

• Centro: $(0, 0)$
• Vértices: $(\pm 5, 0)$
• Covértices: $(0, \pm 3)$
• Focos: $(\pm 4, 0)$

La excentricidad es

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

Para hacer el bosquejo de la gráfica, marca primero el centro y luego los vértices y covértices. Dibuja una curva suave que pase por esos cuatro extremos. Como el eje mayor es horizontal, la elipse debe ser más ancha que alta.

Cómo graficar una elipse paso a paso

Primero pon la ecuación en forma estándar. Esa condición importa porque atajos como "el denominador mayor da el eje mayor" solo funcionan claramente para la forma estándar alineada con los ejes.

Luego:

1. Encuentra el centro $(h, k)$.
2. Identifica $a$ y $b$, con $a > b > 0$ para una elipse no circular.
3. Usa el denominador mayor para identificar la dirección del eje mayor.
4. Marca los vértices y covértices desde el centro.
5. Si hace falta, calcula $c$ a partir de $c^2 = a^2 - b^2$ y coloca los focos sobre el eje mayor.

Si la elipse está centrada en $(h, k)$ en lugar del origen, los mismos pasos funcionan después de desplazar cada punto clave por $(h, k)$.

Errores comunes

Confundir $a$ y $b$

Para una elipse no circular en forma estándar, $a$ es el semieje mayor, así que $a > b$. A veces los estudiantes asignan $a$ automáticamente al término con $x$, pero eso solo es cierto cuando el eje mayor es horizontal.

Usar la relación incorrecta para los focos

Para una elipse, $c^2 = a^2 - b^2$, no $a^2 + b^2$. El signo incorrecto da focos incorrectos y una excentricidad incorrecta.

Confundir vértices con focos

Los vértices son los extremos del eje mayor. Los focos están dentro de la elipse, salvo cuando la figura llega al caso límite circular. No son los mismos puntos.

Usar demasiado el atajo del denominador

El denominador mayor identifica el eje mayor solo después de que la ecuación está en la forma estándar alineada con los ejes. Una elipse rotada no se lee así directamente.

Cuándo se usan las elipses

Las elipses aparecen en toda la geometría analítica y en las secciones cónicas porque conectan una definición geométrica con una ecuación que puedes graficar. También aparecen en modelos de física. Por ejemplo, en el modelo idealizado de dos cuerpos, las trayectorias orbitales son elipses con uno de los focos en el cuerpo central.

En clase, lo más común es usar las elipses para graficar cónicas, encontrar focos y excentricidad, y comparar cómo cambia la forma cuando cambian $a$, $b$ y $e$.

Prueba ahora con una elipse desplazada

Toma

$$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

y encuentra el centro, los vértices, los focos y la excentricidad antes de hacer el bosquejo. Si quieres una comprobación más, compara tu gráfica con el ejemplo de arriba y observa exactamente cómo el desplazamiento cambia los puntos clave sin cambiar la forma general.