พื้นที่รูปสามเหลี่ยม — สูตรทั้งหมดพร้อมตัวอย่าง

ในการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรที่ตรงกับข้อมูลที่คุณมี ถ้าโจทย์ให้ฐาน $b$ และความสูงตั้งฉาก $h$ สูตรหลักคือ

$$A = \frac{1}{2}bh$$

ถ้าโจทย์ไม่ได้ให้ความสูงมา คุณก็ยังหาพื้นที่เดิมได้จากด้านสองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง จากความยาวทั้งสามด้าน หรือจากพิกัด จุดสำคัญคือเลือกสูตรที่มีเงื่อนไขตรงกับรูปสามเหลี่ยมนั้นจริง ๆ

ทำไมสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมจึงมี $\frac{1}{2}$

รูปสามเหลี่ยมที่มีฐาน $b$ และความสูง $h$ จะมีพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนฐานและความสูงเดียวกัน นี่จึงเป็นเหตุผลที่มีตัวประกอบ $\frac{1}{2}$

เงื่อนไขมีความสำคัญ: $h$ ต้องตั้งฉากกับฐานที่คุณเลือก ด้านเอียงจะไม่ใช่ความสูง เว้นแต่จะทำมุมฉากกับฐาน

สูตรหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและใช้แต่ละสูตรเมื่อไร

ฐานและความสูงตั้งฉาก

ใช้สูตรนี้เมื่อทราบฐานและความสูงที่สอดคล้องกัน

$$A = \frac{1}{2}bh$$

นี่เป็นสูตรที่ตรงที่สุด และมักเป็นวิธีที่เร็วที่สุด

สองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

ใช้สูตรนี้เมื่อคุณทราบด้าน $a$ และ $b$ และมุม $C$ ที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

สูตรนี้ใช้ได้เพราะความสูงที่สัมพันธ์กับด้าน $b$ คือ $a\sin C$

สูตรของเฮรอน

ใช้สูตรนี้เมื่อคุณทราบด้านทั้งสาม $a$, $b$ และ $c$ แต่ไม่ทราบความสูง

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

ในที่นี้ $s$ คือกึ่งปริมาตรเส้นรอบรูป สูตรนี้มีประโยชน์เมื่อทราบความยาวด้าน แต่ไม่ได้ให้มุมหรือเส้นสูงมา

สูตรพิกัด

ใช้สูตรนี้เมื่อรูปสามเหลี่ยมกำหนดด้วยจุด $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ และ $(x_3,y_3)$ บนระนาบพิกัด

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

ค่าสัมบูรณ์มีความสำคัญ เพราะพื้นที่ไม่ควรเป็นค่าติดลบ

สูตรรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ใช้สูตรนี้เฉพาะเมื่อทั้งสามด้านยาวเท่ากัน และแต่ละด้านยาว $a$

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

นี่เป็นกรณีพิเศษ ไม่ใช่สูตรทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมทุกแบบ

ตัวอย่างทำโจทย์: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $3$-$4$-$5$

สมมติว่ารูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $3$, $4$ และ $5$ เนื่องจาก $3^2 + 4^2 = 5^2$ จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นด้านยาว $3$ และ $4$ จึงตั้งฉากกัน ทำให้สองด้านนี้เป็นฐานและความสูงที่ใช้ได้ง่ายที่สุด

ให้ $b = 4$ และ $h = 3$

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

ดังนั้นพื้นที่เท่ากับ $6$ ตารางหน่วย

ถ้าคุณต้องการตรวจคำตอบ สูตรของเฮรอนก็ให้ผลลัพธ์เดียวกัน:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

ข้อสำคัญไม่ใช่ว่าคุณต้องใช้ทุกสูตรทุกครั้ง แต่คือสูตรต่าง ๆ จะให้พื้นที่เท่ากันเมื่อเงื่อนไขของสูตรนั้นเป็นจริง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือใช้ความยาวด้านหนึ่งเป็นความสูง โดยไม่ได้ตรวจสอบก่อนว่าด้านนั้นตั้งฉากกับฐานที่เลือกหรือไม่

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือใช้ $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ กับมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างด้าน $a$ และ $b$ ในสูตรนี้ มุมต้องเป็นมุมประกอบระหว่างสองด้านนั้น

ในสูตรของเฮรอน นักเรียนมักลืมหากึ่งปริมาตรเส้นรอบรูปก่อน หรือสับสนระหว่าง $s$ กับเส้นรอบรูปทั้งหมด ความผิดพลาดเล็กน้อยในการคำนวณก็สำคัญเช่นกัน เพราะทุกอย่างอยู่ภายในเครื่องหมายรากที่สอง

สำหรับโจทย์พิกัด การลืมใส่ค่าสัมบูรณ์อาจทำให้ได้ค่าติดลบ ซึ่งไม่สามารถเป็นพื้นที่ได้

สูตรหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมแต่ละแบบมีประโยชน์เมื่อไร

ใช้ $A = \frac{1}{2}bh$ ในเรขาคณิตพื้นฐาน แบบร่างงานก่อสร้าง และโจทย์ใด ๆ ที่มองเห็นหรือคำนวณเส้นสูงได้ง่าย

ใช้ $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ ในตรีโกณมิติและโจทย์ลักษณะงานสำรวจที่ทราบสองด้านกับหนึ่งมุม

ใช้สูตรของเฮรอนเมื่อทราบความยาวทั้งสามด้าน และการหาเส้นสูงจะยุ่งยาก

ใช้สูตรพิกัดในเรขาคณิตวิเคราะห์ โจทย์กราฟ และกรณีที่รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดด้วยจุดยอดแทนข้อมูลฐานกับความสูง

ใช้สูตรรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเฉพาะเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นด้านเท่าเท่านั้น ถ้าเป็นเพียงรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะใช้ทางลัดนี้ไม่ได้โดยอัตโนมัติ

วิธีเลือกสูตรที่ถูกต้องอย่างรวดเร็ว

ถ้าคุณทราบฐานและความสูงตั้งฉาก ให้ใช้ $A = \frac{1}{2}bh$

ถ้าคุณทราบสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง ให้ใช้ $A = \frac{1}{2}ab\sin C$

ถ้าคุณทราบทั้งสามด้าน ให้ใช้สูตรของเฮรอน

ถ้าคุณทราบพิกัด ให้ใช้สูตรพิกัด

ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นด้านเท่า ก็สามารถใช้สูตรลัดเฉพาะกรณีได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $5$, $12$ และ $13$ ก่อนอื่นสังเกตว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใด จากนั้นหาพื้นที่ด้วยวิธีที่เร็วที่สุด หลังจากนั้นลองแก้อีกครั้งด้วยสูตรของเฮรอน และตรวจว่าคำตอบทั้งสองตรงกัน