Pole trójkąta — wszystkie wzory z przykładami

Aby obliczyć pole trójkąta, użyj wzoru, który pasuje do informacji, jakie masz. Jeśli w zadaniu podano podstawę $b$ i wysokość prostopadłą $h$, podstawowy wzór to

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Jeśli wysokość nie jest podana, nadal możesz obliczyć to samo pole na podstawie dwóch boków i kąta między nimi, wszystkich trzech długości boków albo współrzędnych. Klucz polega na wybraniu wzoru, którego warunek rzeczywiście pasuje do danego trójkąta.

Dlaczego we wzorze na pole trójkąta występuje $\frac{1}{2}$

Trójkąt o podstawie $b$ i wysokości $h$ ma połowę pola prostokąta lub równoległoboku zbudowanego na tej samej podstawie i o tej samej wysokości. Dlatego pojawia się czynnik $\frac{1}{2}$.

Warunek ma znaczenie: $h$ musi być prostopadłe do wybranej podstawy. Nachylony bok nie jest wysokością, chyba że tworzy z podstawą kąt prosty.

Wzory na pole trójkąta i kiedy używać każdego z nich

Podstawa i wysokość prostopadła

Użyj tego wzoru, gdy znane są podstawa i odpowiadająca jej wysokość.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

To najbardziej bezpośredni wzór i zwykle najszybszy.

Dwa boki i kąt między nimi

Użyj tego wzoru, gdy znasz boki $a$ i $b$ oraz kąt $C$ między nimi.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

To działa, ponieważ wysokość opuszczona na bok $b$ ma długość $a\sin C$.

Wzór Herona

Użyj tego wzoru, gdy znasz wszystkie trzy boki $a$, $b$ i $c$, ale nie znasz wysokości.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Tutaj $s$ oznacza półobwód. Ten wzór jest przydatny, gdy znane są długości boków, ale nie podano kąta ani wysokości.

Wzór ze współrzędnych

Użyj tego wzoru, gdy trójkąt jest dany przez punkty $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ i $(x_3,y_3)$ w układzie współrzędnych.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Wartość bezwzględna jest ważna, ponieważ pole nie może być ujemne.

Wzór na trójkąt równoboczny

Użyj tego wzoru tylko wtedy, gdy wszystkie trzy boki są równe i każdy ma długość $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

To szczególny przypadek, a nie ogólny wzór na pole trójkąta.

Przykład rozwiązany: pole trójkąta $3$-$4$-$5$

Załóżmy, że trójkąt ma boki długości $3$, $4$ i $5$. Ponieważ $3^2 + 4^2 = 5^2$, jest to trójkąt prostokątny, więc boki długości $3$ i $4$ są prostopadłe. To sprawia, że najłatwiej użyć ich jako podstawy i wysokości.

Niech $b = 4$ i $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Zatem pole wynosi $6$ jednostek kwadratowych.

Jeśli chcesz to sprawdzić, wzór Herona daje ten sam wynik:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

Wniosek nie jest taki, że za każdym razem trzeba używać każdego wzoru. Chodzi o to, że różne wzory dają to samo pole, gdy ich warunki są spełnione.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu pola trójkąta

Najczęstszy błąd polega na użyciu długości boku jako wysokości bez sprawdzenia, czy jest on prostopadły do wybranej podstawy.

Innym błędem jest użycie $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ z kątem, który nie leży między bokami $a$ i $b$. W tym wzorze kąt musi być kątem zawartym między tymi bokami.

We wzorze Herona uczniowie często zapominają najpierw obliczyć półobwód albo mylą $s$ z całym obwodem. Nawet drobne błędy rachunkowe mają znaczenie, ponieważ wszystko znajduje się pod pierwiastkiem.

W zadaniach ze współrzędnymi pominięcie wartości bezwzględnej może dać liczbę ujemną, która nie może być polem.

Kiedy każdy wzór na pole trójkąta jest przydatny

Użyj $A = \frac{1}{2}bh$ w podstawowej geometrii, szkicach konstrukcyjnych i wszędzie tam, gdzie wysokość łatwo zauważyć lub obliczyć.

Użyj $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ w trygonometrii i zadaniach podobnych do pomiarów terenowych, gdy znane są dwa boki i kąt.

Użyj wzoru Herona, gdy znasz długości wszystkich trzech boków, a wyznaczanie wysokości byłoby niewygodne.

Użyj wzoru ze współrzędnych w geometrii analitycznej, zadaniach z wykresami i wtedy, gdy trójkąt jest określony przez wierzchołki zamiast danych o bokach i wysokości.

Użyj wzoru na trójkąt równoboczny tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoboczny. Jeśli jest jedynie równoramienny, ten skrót nie ma automatycznie zastosowania.

Jak szybko wybrać właściwy wzór

Jeśli znasz podstawę i wysokość prostopadłą, użyj $A = \frac{1}{2}bh$.

Jeśli znasz dwa boki i kąt między nimi, użyj $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Jeśli znasz wszystkie trzy boki, użyj wzoru Herona.

Jeśli znasz współrzędne, użyj wzoru ze współrzędnych.

Jeśli trójkąt jest równoboczny, możesz skorzystać ze specjalnego skrótu.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z trójkątem o bokach $5$, $12$ i $13$. Najpierw zauważ, jaki to rodzaj trójkąta, a potem oblicz pole najszybszym sposobem. Następnie rozwiąż zadanie jeszcze raz, używając wzoru Herona, i sprawdź, czy oba wyniki się zgadzają.