Area del triangolo — tutte le formule con esempi

Per trovare l’area di un triangolo, usa la formula che corrisponde alle informazioni che hai. Se il problema fornisce una base $b$ e l’altezza perpendicolare $h$, la formula principale è

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Se l’altezza non è data, puoi comunque trovare la stessa area conoscendo due lati e l’angolo compreso, tutti e tre i lati oppure le coordinate. La chiave è scegliere la formula la cui condizione si adatta davvero al triangolo.

Perché nella formula del triangolo compare $\frac{1}{2}$

Un triangolo con base $b$ e altezza $h$ ha metà dell’area di un rettangolo o di un parallelogramma costruito sulla stessa base e con la stessa altezza. Per questo compare il fattore $\frac{1}{2}$.

La condizione è importante: $h$ deve essere perpendicolare alla base che hai scelto. Un lato obliquo non è un’altezza, a meno che non incontri la base formando un angolo retto.

Formule dell’area del triangolo e quando usare ciascuna

Base e altezza perpendicolare

Usa questa formula quando sono note una base e la sua altezza corrispondente.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Questa è la formula più diretta e di solito anche la più veloce.

Due lati e l’angolo compreso

Usa questa formula quando conosci i lati $a$ e $b$ e l’angolo $C$ compreso tra essi.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Funziona perché l’altezza relativa al lato $b$ è $a\sin C$.

Formula di Erone

Usa questa formula quando conosci tutti e tre i lati $a$, $b$ e $c$, ma non l’altezza.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Qui, $s$ è il semiperimetro. Questa formula è utile quando si conoscono le lunghezze dei lati ma non è dato alcun angolo né alcuna altezza.

Formula con le coordinate

Usa questa formula quando il triangolo è dato dai punti $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3)$ nel piano cartesiano.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Il valore assoluto è importante perché l’area non può essere negativa.

Formula del triangolo equilatero

Usa questa formula solo quando tutti e tre i lati sono uguali e ciascun lato ha lunghezza $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Questo è un caso particolare, non una formula generale per tutti i triangoli.

Esempio svolto: area di un triangolo $3$-$4$-$5$

Supponiamo che un triangolo abbia lati di lunghezza $3$, $4$ e $5$. Poiché $3^2 + 4^2 = 5^2$, è un triangolo rettangolo, quindi i lati di lunghezza $3$ e $4$ sono perpendicolari. Questo li rende la base e l’altezza più semplici da usare.

Poniamo $b = 4$ e $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Quindi l’area è $6$ unità quadrate.

Se vuoi una verifica, la formula di Erone dà lo stesso risultato:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

La lezione non è che devi usare ogni formula ogni volta. La lezione è che formule diverse danno la stessa area quando le loro condizioni sono soddisfatte.

Errori comuni nell’area del triangolo

L’errore più comune è usare la lunghezza di un lato come altezza senza controllare che sia perpendicolare alla base scelta.

Un altro errore è usare $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ con un angolo che non è compreso tra i lati $a$ e $b$. In quella formula, l’angolo deve essere l’angolo compreso.

Nella formula di Erone, gli studenti spesso dimenticano di calcolare prima il semiperimetro oppure confondono $s$ con il perimetro completo. Anche piccoli errori di calcolo contano, perché tutto si trova sotto una radice quadrata.

Nei problemi con le coordinate, dimenticare il valore assoluto può produrre un numero negativo, che non può rappresentare un’area.

Quando è utile ciascuna formula per l’area del triangolo

Usa $A = \frac{1}{2}bh$ nella geometria di base, negli schizzi di costruzione e in qualsiasi problema in cui l’altezza sia facile da vedere o da calcolare.

Usa $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ in trigonometria e nei problemi di tipo topografico in cui sono noti due lati e un angolo.

Usa la formula di Erone quando sono note tutte e tre le lunghezze dei lati e introdurre l’altezza sarebbe scomodo.

Usa la formula con le coordinate nella geometria analitica, nei problemi sul piano cartesiano e nei casi in cui il triangolo è definito dai vertici invece che da dati su lati e altezza.

Usa la formula del triangolo equilatero solo quando il triangolo è equilatero. Se il triangolo è semplicemente isoscele, questa scorciatoia non si applica automaticamente.

Come scegliere rapidamente la formula giusta

Se conosci base e altezza perpendicolare, usa $A = \frac{1}{2}bh$.

Se conosci due lati e l’angolo compreso tra essi, usa $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Se conosci tutti e tre i lati, usa la formula di Erone.

Se conosci le coordinate, usa la formula con le coordinate.

Se il triangolo è equilatero, è disponibile la scorciatoia speciale.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con un triangolo i cui lati sono $5$, $12$ e $13$. Per prima cosa osserva che tipo di triangolo è, poi trova l’area nel modo più veloce. Dopo, risolvilo di nuovo con la formula di Erone e verifica che entrambe le risposte coincidano.