Aire d’un triangle — toutes les formules avec exemples

Pour trouver l’aire d’un triangle, utilisez la formule qui correspond aux informations dont vous disposez. Si l’énoncé donne une base $b$ et la hauteur perpendiculaire $h$, la formule principale est

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Si la hauteur n’est pas donnée, vous pouvez quand même trouver la même aire à partir de deux côtés et de l’angle compris, des trois longueurs de côtés, ou des coordonnées. L’essentiel est de choisir une formule dont la condition s’applique réellement au triangle.

Pourquoi la formule du triangle contient $\frac{1}{2}$

Un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ a une aire égale à la moitié de celle d’un rectangle ou d’un parallélogramme construits sur la même base et la même hauteur. C’est pour cela que le facteur $\frac{1}{2}$ apparaît.

La condition est importante : $h$ doit être perpendiculaire à la base choisie. Un côté incliné n’est pas une hauteur, sauf s’il rencontre la base à angle droit.

Formules de l’aire d’un triangle et quand utiliser chacune

Base et hauteur perpendiculaire

Utilisez cette formule lorsqu’une base et sa hauteur correspondante sont connues.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

C’est la formule la plus directe et généralement la plus rapide.

Deux côtés et l’angle compris

Utilisez cette formule lorsque vous connaissez les côtés $a$ et $b$ ainsi que l’angle $C$ entre eux.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Cela fonctionne parce que la hauteur relative au côté $b$ vaut $a\sin C$.

Formule de Héron

Utilisez cette formule lorsque vous connaissez les trois côtés $a$, $b$ et $c$, mais pas la hauteur.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Ici, $s$ est le demi-périmètre. Cette formule est utile lorsque les longueurs des côtés sont connues mais qu’aucun angle ni aucune hauteur n’est donné.

Formule avec les coordonnées

Utilisez cette formule lorsque le triangle est défini par les points $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ et $(x_3,y_3)$ dans le plan cartésien.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

La valeur absolue est importante, car une aire ne peut pas être négative.

Formule du triangle équilatéral

Utilisez cette formule uniquement lorsque les trois côtés sont égaux et que chaque côté a pour longueur $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

C’est un cas particulier, pas une formule générale pour tous les triangles.

Exemple résolu : aire d’un triangle $3$-$4$-$5$

Supposons qu’un triangle ait pour côtés $3$, $4$ et $5$. Comme $3^2 + 4^2 = 5^2$, c’est un triangle rectangle, donc les côtés de longueurs $3$ et $4$ sont perpendiculaires. Ce sont donc la base et la hauteur les plus simples à utiliser.

Posons $b = 4$ et $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

L’aire est donc de $6$ unités carrées.

Si vous voulez vérifier, la formule de Héron donne le même résultat :

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

L’idée n’est pas qu’il faut utiliser toutes les formules à chaque fois. L’idée est que des formules différentes donnent la même aire lorsque leurs conditions sont satisfaites.

Erreurs fréquentes sur l’aire d’un triangle

L’erreur la plus fréquente consiste à utiliser la longueur d’un côté comme hauteur sans vérifier qu’il est perpendiculaire à la base choisie.

Une autre erreur consiste à utiliser $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ avec un angle qui n’est pas compris entre les côtés $a$ et $b$. Dans cette formule, l’angle doit être l’angle compris.

Dans la formule de Héron, les élèves oublient souvent de calculer d’abord le demi-périmètre ou confondent $s$ avec le périmètre complet. De petites erreurs de calcul comptent aussi, car tout se trouve sous une racine carrée.

Pour les problèmes avec coordonnées, oublier la valeur absolue peut donner un nombre négatif, ce qui ne peut pas représenter une aire.

Quand chaque formule d’aire du triangle est utile

Utilisez $A = \frac{1}{2}bh$ en géométrie de base, dans des croquis de construction, et dans tout problème où la hauteur est facile à voir ou à calculer.

Utilisez $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ en trigonométrie et dans des problèmes de type topographie où deux côtés et un angle sont connus.

Utilisez la formule de Héron lorsque les trois longueurs de côtés sont connues et qu’introduire la hauteur serait peu pratique.

Utilisez la formule avec les coordonnées en géométrie analytique, dans les problèmes sur graphique, et dans les cas où le triangle est défini par ses sommets plutôt que par une base et une hauteur.

Utilisez la formule de l’équilatéral uniquement lorsque le triangle est équilatéral. Si le triangle est seulement isocèle, ce raccourci ne s’applique pas automatiquement.

Comment choisir rapidement la bonne formule

Si vous connaissez la base et la hauteur perpendiculaire, utilisez $A = \frac{1}{2}bh$.

Si vous connaissez deux côtés et l’angle entre eux, utilisez $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Si vous connaissez les trois côtés, utilisez la formule de Héron.

Si vous connaissez les coordonnées, utilisez la formule avec les coordonnées.

Si le triangle est équilatéral, le raccourci spécial est disponible.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$. Commencez par remarquer de quel type de triangle il s’agit, puis trouvez l’aire de la manière la plus rapide. Ensuite, résolvez-le de nouveau avec la formule de Héron et vérifiez que les deux réponses coïncident.